Subgroups — #233224

Order 512.

1372 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3216	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1557	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10265	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10263	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3216	—	2	8	no	—
12	#3216	—	2	8	no	—
13	#3169	—	2	8	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#497	—	2	2	no	—
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#489	—	2	2	no	—
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#466	—	2	2	no	—
20	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#452	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
24	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1984	—	2	2	no	—
28	#1984	C₂²	1	2	yes	—
29	#1984	C₂²	1	2	yes	—
30	#1729	—	2	2	no	—
31	#1557	—	2	8	no	—
32	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1277	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	2	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	#533	—	2	4	no	—
43	#533	—	2	4	no	—
44	#532	—	2	4	no	—
45	#532	—	2	4	no	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	D₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#125	—	2	1	no	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#500	—	2	4	no	—
65	#497	—	2	16	no	—
66	#493	—	2	4	no	—
67	#489	—	2	16	no	—
68	#486	—	2	4	no	—
69	#486	—	2	4	no	—
70	#466	—	2	16	no	—
71	#462	—	2	8	no	—
72	#462	—	2	8	no	—
73	#460	—	2	8	no	—
74	#460	—	2	8	no	—
75	#452	—	2	32	no	—
76	C₄×D₈	—	2	16	no	—
77	#432	—	2	4	no	—
78	#432	D₄	1	8	yes	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	#423	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#103	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	4	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	#332	—	2	8	no	—
96	#331	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂×#41	—	8	4	no	—
100	C₂×#41	—	8	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
112	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
118	C₂×D₈	—	2	8	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	#125	—	4	4	no	—
141	#124	—	2	8	no	—
142	#124	—	4	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
145	#121	—	2	8	no	—
146	#121	—	2	8	no	—
147	#121	—	4	4	no	—
148	#121	—	4	4	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	#117	—	4	2	no	—
158	#117	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	#107	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	#103	—	2	16	no	—
183	#102	—	2	16	no	—
184	#102	—	2	16	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
186	#97	—	2	8	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
192	#41	—	8	16	no	—
193	#41	—	8	16	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	4	no	—
216	C₂×D₄	—	8	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	Q₁₆	—	8	16	no	—
240	SD₁₆	—	8	16	no	—
241	D₈	—	4	16	no	—
242	M₁₆	—	8	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	8	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	#120	1	2	yes	—
271	C₄²	#120	1	4	yes	—
272	C₄²	#121	1	4	yes	—
273	C₄²	#127	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	#392	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	4	no	—
288	Q₈	—	4	4	no	—
289	Q₈	—	4	8	no	—
290	Q₈	—	8	4	no	—
291	Q₈	—	8	4	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	16	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	16	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	4	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	4	8	no	—
333	C₈	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	16	4	no	—
343	C₂²	—	16	4	no	—
344	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3037	1	2	yes	—
346	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3067	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	4	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	#3007	1	2	yes	—
357	C₄	#3008	1	4	yes	—
358	C₄	#3152	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	4	2	no	—
361	C₂	—	16	4	no	—
362	C₂	#19341	1	2	yes	—
363	C₂	#19347	1	2	yes	—
364	C₂	#23387	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#23429	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#23438	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3216	C₂	semidirect
3. #21300	C₂	semidirect
4. C₂×#1557	C₂	semidirect
5. #10265	C₂	semidirect
6. #10263	C₂	semidirect
7. #10262	C₂	semidirect
8. #7875	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3216	2
C₂×#3169	2
#21300	2
C₂×#1557	2
#10265	2
#10263	2
#10262	2
#7875	2