Subgroups — #233243

Order 512.

1340 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3254	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1561	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10270	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10264	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3254	—	2	8	no	—
12	#3254	—	2	8	no	—
13	#3170	—	2	8	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#477	—	2	2	no	—
18	C₂×#474	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#468	—	2	4	no	—
20	C₂×#467	—	2	2	no	—
21	C₂×#460	—	2	2	no	—
22	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#408	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1954	—	2	2	no	—
29	#1954	C₂²	1	2	yes	—
30	#1954	C₂²	1	2	yes	—
31	#1561	—	2	8	no	—
32	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1277	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	1	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	#533	—	2	4	no	—
43	#533	—	2	4	no	—
44	#533	—	2	4	no	—
45	#533	D₄	1	8	yes	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#125	—	2	2	no	—
53	C₂×#124	—	2	1	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	1	no	—
57	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#500	—	2	4	no	—
65	#494	—	2	4	no	—
66	#487	—	2	4	no	—
67	#487	—	2	4	no	—
68	#477	—	2	16	no	—
69	#474	—	2	8	no	—
70	#474	—	2	8	no	—
71	#468	—	2	32	no	—
72	#467	—	2	16	no	—
73	#461	—	2	8	no	—
74	#461	—	2	8	no	—
75	#460	—	2	16	no	—
76	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
77	C₂×#107	—	2	2	no	—
78	C₂×#107	—	2	4	no	—
79	#423	—	2	4	no	—
80	#423	—	2	4	no	—
81	#423	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#103	—	2	4	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	#408	—	4	8	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#332	—	2	8	no	—
97	#332	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	2	no	—
101	C₂×#41	—	4	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	#127	—	2	4	no	—
141	#125	—	2	8	no	—
142	#125	—	4	4	no	—
143	#124	—	4	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
148	#121	—	2	8	no	—
149	#121	—	4	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	2	no	—
157	C₄×D₄	—	4	2	no	—
158	#117	—	2	8	no	—
159	#117	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#107	—	2	8	no	—
179	#107	—	2	16	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
185	#103	—	2	16	no	—
186	#103	—	2	16	no	—
187	#102	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	8	4	no	—
196	#41	—	8	4	no	—
197	#41	—	8	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	4	16	no	—
244	SD₁₆	—	8	16	no	—
245	M₁₆	—	8	8	no	—
246	M₁₆	—	8	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	8	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	#120	1	2	yes	—
276	C₄²	#120	1	4	yes	—
277	C₄²	#121	1	4	yes	—
278	C₄²	#127	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	#392	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	8	no	—
293	Q₈	—	4	4	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	Q₈	—	8	2	no	—
297	Q₈	—	8	2	no	—
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	Q₈	—	8	2	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	8	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#473	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	4	8	no	—
341	C₈	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3036	1	2	yes	—
354	C₂²	#3060	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3061	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#473	1	2	yes	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	8	4	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	#2020	1	4	yes	—
364	C₄	#3006	1	2	yes	—
365	C₄	#3012	1	2	yes	—
366	C₄	#3013	1	2	yes	—
367	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	4	2	no	—
370	C₂	—	16	2	no	—
371	C₂	#19333	1	2	yes	—
372	C₂	#19338	1	2	yes	—
373	C₂	#23390	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#23428	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#2020	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3170	C₂	semidirect
4. C₂×#1561	C₂	semidirect
5. #10274	C₂	semidirect
6. #10270	C₂	semidirect
7. #10264	C₂	semidirect
8. #7874	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3254	2
C₂×#3170	2
#21187	2
C₂×#1561	2
#10274	2
#10270	2
#10264	2
#7874	2