Subgroups — #233409

Order 512.

1380 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#21324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10314	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10309	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#7848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3209	—	2	4	no	—
14	#3209	—	2	4	no	—
15	#3165	—	2	4	no	—
16	#3165	—	2	4	no	—
17	C₂×#501	—	2	2	no	—
18	C₂×#500	—	2	2	no	—
19	C₂×#500	—	2	4	no	—
20	C₂×#500	—	2	4	no	—
21	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#462	—	2	2	no	—
27	C₂×#451	—	2	2	no	—
28	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#428	—	2	2	no	—
30	C₂²×#107	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1993	—	2	2	no	—
35	#1990	C₂²	1	2	yes	—
36	#1990	C₂²	1	4	yes	—
37	#1981	—	2	2	no	—
38	#1956	C₂²	1	4	yes	—
39	#1956	C₂²	1	2	yes	—
40	#1892	—	2	2	no	—
41	#1787	—	2	2	no	—
42	C₄×#103	—	2	2	no	—
43	#1736	—	2	2	no	—
44	#1273	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	#533	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	—	2	1	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
77	C₂×#117	—	2	1	no	—
78	C₂×#117	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#501	—	2	16	no	—
85	#500	—	2	16	no	—
86	#500	—	2	8	no	—
87	#500	—	2	8	no	—
88	#500	—	2	4	no	—
89	#500	—	2	4	no	—
90	#498	—	2	4	no	—
91	#498	—	2	4	no	—
92	#494	—	2	4	no	—
93	#494	—	2	4	no	—
94	#487	—	2	4	no	—
95	#487	—	2	4	no	—
96	#462	—	2	16	no	—
97	#451	—	2	16	no	—
98	#431	—	2	2	no	—
99	#431	—	2	2	no	—
100	#428	—	2	16	no	—
101	C₂×#107	—	2	16	no	—
102	C₂×#107	—	2	8	no	—
103	C₂×#107	—	2	4	no	—
104	C₂×#106	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×#103	—	2	4	no	—
107	C₂×#103	—	2	4	no	—
108	C₂×#103	—	2	8	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
110	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	—	2	1	no	—
121	#380	—	2	1	no	—
122	#380	—	2	1	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
125	#340	—	2	4	no	—
126	#340	—	2	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
137	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	8	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	8	yes	complemented
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	#125	—	2	4	no	—
183	#125	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
188	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
192	#117	—	2	4	no	—
193	#117	—	4	2	no	—
194	#117	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	#107	—	2	32	no	—
233	#107	—	2	16	no	—
234	#106	—	2	16	no	—
235	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
236	#103	—	2	16	no	—
237	#103	—	4	8	no	—
238	#103	—	8	8	no	—
239	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
240	#97	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	2	4	no	—
242	C₄×C₈	—	2	2	no	—
243	C₄×C₈	—	2	2	no	—
244	C₄×C₈	—	2	2	no	—
245	C₄×C₈	—	2	2	no	—
246	C₄×C₈	—	2	2	no	—
247	C₄×C₈	—	2	2	no	—
248	#95	—	4	1	no	—
249	#95	—	4	1	no	—
250	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
265	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
266	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
267	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
270	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	Q₁₆	—	8	16	no	—
297	M₁₆	—	2	16	no	—
298	C₂×C₈	—	2	16	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	8	no	—
305	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
306	C₂×C₈	#137	1	8	yes	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
334	C₄²	—	4	4	no	—
335	C₄²	—	8	2	no	—
336	C₄²	#120	1	2	yes	—
337	C₄²	#120	1	2	yes	—
338	C₄²	#120	1	2	yes	—
339	C₄²	#121	1	2	yes	—
340	C₄²	#121	1	2	yes	—
341	C₄²	#121	1	2	yes	—
342	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	—	2	2	no	—
347	C₂³	—	2	2	no	—
348	C₂³	#392	1	2	yes	—
349	C₂³	#494	1	2	yes	—
350	C₂³	#497	1	2	yes	—
351	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
352	Q₈	—	4	4	no	—
353	Q₈	—	4	8	no	—
354	Q₈	—	4	4	no	—
355	Q₈	—	4	8	no	—
356	Q₈	—	8	8	no	—
357	Q₈	—	8	8	no	—
358	Q₈	—	8	2	no	—
359	Q₈	—	8	4	no	—
360	Q₈	—	8	2	no	—
361	Q₈	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	—	8	8	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#451	1	8	yes	—
385	C₂×C₄	#462	1	8	yes	—
386	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#497	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
398	C₈	—	2	8	no	—
399	C₈	—	2	8	no	—
400	C₈	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	4	no	—
404	C₂²	—	2	4	no	—
405	C₂²	#2016	1	4	yes	—
406	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3152	1	2	yes	—
410	C₂²	#3155	1	2	yes	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	8	2	no	—
416	C₄	—	8	2	no	—
417	C₄	—	16	2	no	—
418	C₄	#2016	1	4	yes	—
419	C₄	C₂×#451	1	2	yes	—
420	C₄	#3004	1	2	yes	—
421	C₄	#3008	1	2	yes	—
422	C₄	C₂×#462	1	2	yes	—
423	C₄	#3039	1	2	yes	—
424	C₄	#3041	1	2	yes	—
425	C₂	—	2	4	no	—
426	C₂	#19633	1	2	yes	—
427	C₂	#19683	1	2	yes	—
428	C₂	C₂×#2016	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#23422	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#23432	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#127
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
7. #10314	C₂	semidirect
8. #10309	C₂	semidirect
148. C₂×M₁₆	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3209	2
C₂×#3165	2
C₂²×#500	2
#21804	2
#21400	2
#21324	2
#10314	2
#10309	2
#7848	2