Subgroups — #233496

Order 512.

1428 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#7850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	#3210	—	2	8	no	—
13	#3210	—	2	8	no	—
14	#3184	—	2	8	no	—
15	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#469	—	2	2	no	—
23	C₂×#464	—	2	4	no	—
24	C₂×#452	—	2	4	no	—
25	C₂×#442	—	2	2	no	—
26	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1992	—	2	2	no	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1990	C₂²	1	2	yes	—
33	#1990	C₂²	1	2	yes	—
34	#1957	C₂²	1	2	yes	—
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1874	—	2	4	no	—
37	#1802	—	2	4	no	—
38	#1736	—	2	2	no	—
39	#1273	C₂²	1	2	yes	—
40	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#41	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
47	#533	—	2	4	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	D₄	1	4	yes	—
50	#532	—	2	4	no	—
51	#532	—	2	4	no	—
52	#532	—	2	4	no	—
53	#532	D₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#125	—	2	1	no	—
58	C₂×#124	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#498	—	2	4	no	—
70	#494	—	2	4	no	—
71	#494	—	2	4	no	—
72	#493	—	2	4	no	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#487	—	2	4	no	—
76	#487	—	2	4	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	4	no	—
80	#486	—	2	4	no	—
81	#469	—	2	16	no	—
82	#464	—	2	32	no	—
83	#452	—	2	32	no	—
84	#442	—	2	16	no	—
85	#431	—	2	4	no	—
86	#431	—	2	4	no	—
87	C₂×#106	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×#103	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
95	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#384	—	2	2	no	—
102	#384	—	2	1	no	—
103	#384	C₂³	1	2	yes	—
104	#340	—	2	4	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	8	4	no	—
111	C₂×#41	—	8	4	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	8	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	#127	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	#125	—	4	2	no	—
152	#124	—	2	8	no	—
153	#124	—	4	4	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
156	#121	—	2	8	no	—
157	#121	—	2	8	no	—
158	#121	—	4	4	no	—
159	#121	—	4	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	8	no	—
163	C₄×D₄	—	2	8	no	—
164	C₄×D₄	—	4	4	no	—
165	C₄×D₄	—	4	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	#106	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	#103	—	2	16	no	—
193	#102	—	2	16	no	—
194	#102	—	2	16	no	—
195	#102	—	8	4	no	—
196	#102	—	8	4	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
198	#97	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	4	2	no	—
206	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	8	16	no	—
208	#41	—	8	16	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	8	4	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
244	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	Q₁₆	—	8	16	no	—
253	SD₁₆	—	8	16	no	—
254	D₈	—	4	16	no	—
255	M₁₆	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₄²	#120	1	2	yes	—
287	C₄²	#120	1	4	yes	—
288	C₄²	#121	1	4	yes	—
289	C₄²	#121	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	#392	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	4	8	no	—
307	Q₈	—	4	8	no	—
308	Q₈	—	8	4	no	—
309	Q₈	—	8	4	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	4	8	no	—
313	D₄	—	8	16	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	16	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	16	4	no	—
336	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	4	4	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3154	1	2	yes	—
366	C₂²	#3155	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	8	4	no	—
370	C₄	—	8	4	no	—
371	C₄	—	16	2	no	—
372	C₄	#3007	1	2	yes	—
373	C₄	#3012	1	4	yes	—
374	C₄	#3037	1	2	yes	—
375	C₄	#3045	1	4	yes	—
376	C₂	—	4	2	no	—
377	C₂	—	16	4	no	—
378	C₂	#19724	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#19726	1	2	yes	—
380	C₂	#19729	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#23426	1	2	yes	—
382	C₂	#23429	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3184	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3210	C₂	semidirect
3. #21859	C₂	semidirect
4. #21322	C₂	semidirect
5. #10318	C₂	semidirect
6. #10310	C₂	semidirect
7. #10306	C₂	semidirect
8. #10305	C₂	semidirect
9. #7850	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3210	2
C₂×#3184	2
#21859	2
#21322	2
#10318	2
#10310	2
#10306	2
#10305	2
#7850	2