Subgroups — #234140

Order 512.

1422 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60941	C₂	1	2	yes	maximal
2	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10287	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10283	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3246	—	2	4	no	—
12	#3229	—	2	2	no	—
13	#3227	C₂²	1	4	yes	—
14	#3208	—	2	2	no	—
15	#3206	C₂²	1	4	yes	—
16	#3187	—	2	4	no	—
17	#3167	—	2	4	no	—
18	#3103	—	2	4	no	—
19	#3101	—	2	4	no	—
20	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#104	—	2	2	no	—
23	#2868	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	#2859	—	2	2	no	—
27	#2857	—	2	4	no	—
28	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
29	#2285	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1962	—	2	2	no	—
32	#1962	C₂²	1	2	yes	—
33	#1962	C₂²	1	2	yes	—
34	#1550	—	2	4	no	—
35	#1549	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1548	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1542	—	2	4	no	—
38	#1276	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1276	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂²×#41	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
42	#533	—	2	2	no	—
43	#533	—	2	2	no	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	1	no	—
53	#532	—	2	1	no	—
54	#532	D₄	1	2	yes	—
55	#532	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#125	—	2	2	no	—
62	C₂×#124	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#498	—	2	4	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#487	—	2	4	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#483	—	2	8	no	—
78	#481	—	2	8	no	—
79	#476	—	2	8	no	—
80	#475	—	2	8	no	—
81	#465	—	2	16	no	—
82	#461	—	2	8	no	—
83	#460	—	2	8	no	—
84	#450	—	2	8	no	—
85	#448	—	2	8	no	—
86	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
87	#431	—	2	2	no	—
88	#431	—	2	2	no	—
89	#431	D₄	1	4	yes	—
90	#431	C₂³	1	4	yes	—
91	#423	—	2	2	no	—
92	#423	—	2	1	no	—
93	#423	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×#104	—	2	4	no	—
97	C₂×#104	—	2	4	no	—
98	C₂×#104	—	4	8	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
101	#391	—	2	4	no	—
102	#391	—	2	4	no	—
103	#389	—	2	16	no	—
104	#384	—	2	4	no	—
105	#384	—	2	4	no	—
106	#382	—	2	2	no	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	#380	—	2	8	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₄³	—	2	2	no	—
111	C₄³	D₄	1	2	yes	—
112	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#333	—	2	8	no	—
115	#332	—	2	8	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	4	1	no	—
119	C₂×#41	—	4	1	no	—
120	C₂×#41	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
149	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	#125	—	4	2	no	—
154	#125	—	4	2	no	—
155	#125	—	4	2	no	—
156	#125	—	4	2	no	—
157	#124	—	2	2	no	—
158	#124	—	2	2	no	—
159	#124	—	4	2	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	2	4	no	—
170	#121	—	4	2	no	—
171	#121	—	4	2	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	2	no	—
183	C₄×D₄	—	4	2	no	—
184	#117	—	4	2	no	—
185	#117	—	4	2	no	—
186	#117	—	4	2	no	—
187	#117	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	complemented
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	#106	—	2	16	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	#104	—	4	8	no	—
223	#104	—	4	8	no	—
224	#103	—	2	16	no	—
225	#102	—	2	16	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
228	C₄×C₈	—	2	4	no	—
229	C₄×C₈	—	2	4	no	—
230	#95	—	2	8	no	—
231	#95	—	2	8	no	—
232	C₂⁴	—	4	1	no	—
233	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
234	#41	—	4	4	no	—
235	#41	—	4	4	no	—
236	#41	—	4	8	no	—
237	#41	—	8	4	no	—
238	#41	—	8	2	no	—
239	#41	—	8	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	1	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	SD₁₆	—	8	16	no	—
285	M₁₆	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	8	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	8	4	no	—
290	C₂×C₈	—	8	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	2	8	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	8	no	—
314	C₄²	—	4	8	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	#120	1	2	yes	—
319	C₄²	#120	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	2	yes	—
321	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	#121	1	2	yes	—
324	C₄²	#127	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
326	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
327	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	8	4	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	#448	1	4	yes	—
337	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	4	8	no	—
339	Q₈	—	4	4	no	—
340	Q₈	—	8	4	no	—
341	Q₈	—	8	4	no	—
342	Q₈	—	8	4	no	—
343	Q₈	—	8	2	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	8	4	no	—
347	D₄	—	8	4	no	—
348	D₄	—	8	4	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	16	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	4	no	—
370	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#448	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#461	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#461	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#497	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#497	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
387	C₈	—	4	8	no	—
388	C₈	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	16	4	no	—
396	C₂²	#2013	1	2	yes	—
397	C₂²	#2013	1	2	yes	—
398	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂×#448	1	2	yes	—
400	C₄	—	2	8	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	8	4	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	#2013	1	2	yes	—
409	C₄	#2013	1	2	yes	—
410	C₄	#3018	1	4	yes	—
411	C₄	C₂×#461	1	2	yes	—
412	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
413	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
414	C₂	—	2	2	no	—
415	C₂	—	2	2	no	—
416	C₂	—	2	2	no	—
417	C₂	—	16	2	no	—
418	C₂	#23399	1	2	yes	—
419	C₂	C₂×#2013	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#392
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#392
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #36645	C₂	semidirect
4. #17708	C₂	semidirect
5. #10287	C₂	semidirect
6. #10285	C₂	semidirect
7. #10283	C₂	semidirect
8. C₂×#1276	C₂	semidirect
23. #2868	C₂²	semidirect
24. #2862	C₂²	semidirect
25. #2862	C₂²	semidirect
35. #1549	C₂²	semidirect
36. #1548	C₂²	semidirect
38. #1276	C₂²	semidirect
39. #1276	C₂²	semidirect
205. C₂×C₄²	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60941	2
#36645	2
C₂×#1962	2
#17708	2
#10287	2
#10285	2
#10283	2
C₂×#1276	2