Subgroups — #2366

Order 128.

416 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#390	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×D₄	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄	C₂²	1	4	yes	—
9	#127	C₄	1	8	yes	complemented
10	C₄×D₄	—	2	16	no	—
11	C₂×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#95	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂⁴	C₂³	1	4	yes	—
19	C₂×D₄	—	2	8	no	—
20	C₂×D₄	—	2	8	no	—
21	C₂×D₄	—	4	2	no	—
22	C₂×D₄	—	4	2	no	—
23	C₂×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
24	C₂×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
25	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
26	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
27	C₂²×C₄	C₂³	1	4	yes	—
28	C₂²×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄	C₂³	1	2	yes	—
31	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
32	C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
33	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
34	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
35	C₄²	—	2	8	no	—
36	C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
37	C₂³	—	2	8	no	—
38	C₂³	—	2	8	no	—
39	C₂³	—	2	4	no	—
40	C₂³	—	2	4	no	—
41	C₂³	C₂²×C₄	1	8	yes	—
42	C₂³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
43	D₄	—	2	32	no	—
44	D₄	—	4	8	no	—
45	C₂×C₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄	—	4	16	no	—
53	C₂×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄	#41	1	4	yes	—
58	C₂²	—	2	16	no	—
59	C₂²	—	2	8	no	—
60	C₂²	—	4	4	no	—
61	C₂²	—	4	8	no	—
62	C₂²	—	4	4	no	—
63	C₂²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
65	C₂²	C₂×#41	1	2	yes	—
66	C₂²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
67	C₂²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
68	C₄	—	2	2	no	—
69	C₄	—	2	8	no	—
70	C₄	—	4	4	no	—
71	C₄	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
72	C₂	—	4	8	no	—
73	C₂	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
74	C₂	#518	1	1	yes	characteristic
75	C₂	D₄²	1	1	yes	characteristic
76	C₂	#550	1	2	yes	—
77	C₂	#559	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#127	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. #390	C₂	semidirect
4. #386	C₂	semidirect
5. C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
9. #127	C₄	semidirect
23. C₂×D₄	C₂×C₄	semidirect
24. C₂×D₄	C₂×C₄	semidirect
32. C₄⋊C₄	D₄	semidirect
36. C₄²	C₂×C₄	semidirect
71. C₄	C₄×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#127	2
C₂×C₄×D₄	2
#390	2
#386	2
C₄×C₄⋊C₄	2