Subgroups — C₄₁×#8353 #23784554

Order 10496.

1054 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄₁×#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄₁×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄₁×#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄₁×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄₁×#1492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×H(5,𝔽₂)×C₄₁	—	2	1	no	—
7	C₄₁×#547	—	2	2	no	—
8	C₄₁×#546	—	2	4	no	—
9	D₄²×C₄₁	—	2	2	no	—
10	C₄₁×#537	—	2	1	no	—
11	C₄₁×#534	C₄	1	4	yes	—
12	C₄₁×#532	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#121×C₄₁	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×D₄×C₄₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄₁×#423	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×C₄⋊C₈×C₄₁	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#100×C₄₁	—	2	1	no	—
18	C₂×C₂²⋊C₈×C₄₁	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×C₈×C₄₁	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₄₁×#343	—	2	1	no	—
21	C₄₁×#332	—	2	2	no	—
22	C₄₁×#331	—	2	2	no	—
23	C₄₁×D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
24	H(5,𝔽₂)×C₄₁	—	4	4	no	—
25	H(5,𝔽₂)×C₄₁	—	4	2	no	—
26	H(5,𝔽₂)×C₄₁	—	4	2	no	—
27	C₂×#41×C₄₁	—	2	4	no	—
28	C₂×#41×C₄₁	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₄×C₄₁	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₄×C₄₁	—	2	4	no	—
31	C₂²×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₄×C₄₁	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄×C₄₁	D₄	1	2	yes	—
34	C₂×M₁₆×C₄₁	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₈×C₄₁	—	2	1	no	—
36	C₂²×C₈×C₄₁	—	2	1	no	—
37	C₄⋊Q₈×C₄₁	D₄	1	2	yes	—
38	#127×C₄₁	D₄	1	2	yes	—
39	#124×C₄₁	—	2	2	no	—
40	#123×C₄₁	—	2	8	no	—
41	C₂²⋊Q₈×C₄₁	—	2	4	no	—
42	#121×C₄₁	—	2	4	no	—
43	#121×C₄₁	—	2	4	no	—
44	#121×C₄₁	—	2	4	no	—
45	#121×C₄₁	—	2	4	no	—
46	#121×C₄₁	—	2	2	no	—
47	#121×C₄₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#120×C₄₁	—	2	8	no	—
49	C₄×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
50	C₄×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
51	C₄×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
52	C₄×D₄×C₄₁	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₄₁	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₂²⋊C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄×C₄₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₄₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₄⋊C₈×C₄₁	—	2	2	no	—
59	C₄⋊C₈×C₄₁	—	2	2	no	—
60	C₄⋊C₈×C₄₁	—	2	2	no	—
61	#100×C₄₁	—	4	2	no	—
62	C₂²⋊C₈×C₄₁	—	4	4	no	—
63	C₄×C₈×C₄₁	—	2	2	no	—
64	C₂⁴×C₄₁	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₄₁	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
66	#41×C₄₁	—	4	8	no	—
67	#41×C₄₁	—	4	8	no	—
68	#41×C₄₁	—	4	2	no	—
69	#41×C₄₁	—	4	2	no	—
70	#41×C₄₁	—	4	2	no	—
71	#41×C₄₁	—	4	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₄₁	—	2	2	no	—
73	C₂×D₄×C₄₁	—	2	8	no	—
74	C₂×D₄×C₄₁	—	2	4	no	—
75	C₂×D₄×C₄₁	—	2	4	no	—
76	C₂×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
77	C₂×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
78	C₂×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₄₁	—	2	2	no	—
80	C₂×D₄×C₄₁	—	4	8	no	—
81	C₂×D₄×C₄₁	—	4	8	no	—
82	C₂×D₄×C₄₁	—	4	8	no	—
83	C₂×D₄×C₄₁	—	4	8	no	—
84	C₂×D₄×C₄₁	—	8	2	no	—
85	C₂×D₄×C₄₁	—	8	2	no	—
86	C₂×D₄×C₄₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₂×D₄×C₄₁	D₈	1	2	yes	—
88	C₂×D₄×C₄₁	SD₁₆	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄×C₄₁	—	4	2	no	—
94	C₂²×C₄×C₄₁	—	4	2	no	—
95	C₂²×C₄×C₄₁	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₄₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₄₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₄₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	M₁₆×C₄₁	—	4	2	no	—
100	M₁₆×C₄₁	—	4	2	no	—
101	C₂×C₈×C₄₁	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₄₁	—	4	1	no	—
103	C₂×C₈×C₄₁	—	4	1	no	—
104	C₂×C₈×C₄₁	—	4	2	no	—
105	C₂×C₈×C₄₁	—	4	1	no	—
106	C₂×C₈×C₄₁	—	4	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
108	C₄⋊C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₄₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂²⋊C₄×C₄₁	—	2	8	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
115	C₄²×C₄₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄²×C₄₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄₁	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄₁	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄₁	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄₁	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₄₁	—	4	2	no	—
122	C₂³×C₄₁	—	4	8	no	—
123	C₂³×C₄₁	—	8	4	no	—
124	C₂³×C₄₁	—	8	4	no	—
125	C₂³×C₄₁	#102	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	Q₈×C₄₁	—	4	2	no	—
128	Q₈×C₄₁	—	4	2	no	—
129	D₄×C₄₁	—	2	4	no	—
130	D₄×C₄₁	—	2	4	no	—
131	D₄×C₄₁	—	4	4	no	—
132	D₄×C₄₁	—	4	16	no	—
133	D₄×C₄₁	—	4	4	no	—
134	D₄×C₄₁	—	4	4	no	—
135	D₄×C₄₁	—	4	2	no	—
136	D₄×C₄₁	—	4	2	no	—
137	D₄×C₄₁	—	4	2	no	—
138	D₄×C₄₁	—	4	2	no	—
139	D₄×C₄₁	—	8	4	no	—
140	C₂×C₄×C₄₁	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄×C₄₁	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₄₁	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄×C₄₁	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄×C₄₁	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄×C₄₁	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄×C₄₁	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄×C₄₁	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₄₁	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₄₁	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₄₁	—	8	2	no	—
152	C₂×C₄×C₄₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₄₁	#120	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₄₁	#120	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₄₁	#120	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₄₁	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄×C₄₁	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₄₁	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
159	C₈×C₄₁	—	4	2	no	—
160	C₈×C₄₁	—	8	2	no	—
161	C₈×C₄₁	—	8	1	no	—
162	#8353	C₄₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
163	C₂²×C₄₁	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄₁	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄₁	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄₁	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄₁	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄₁	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄₁	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄₁	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄₁	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄₁	—	8	2	no	—
173	C₂²×C₄₁	—	16	8	no	—
174	C₂²×C₄₁	#379	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄₁	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄₁	#418	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₄₁	—	2	1	no	—
178	C₄×C₄₁	—	2	2	no	—
179	C₄×C₄₁	—	4	2	no	—
180	C₄×C₄₁	—	4	4	no	—
181	C₄×C₄₁	#447	1	2	yes	—
182	C₄×C₄₁	#450	1	2	yes	—
183	C₄×C₄₁	#453	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₄₁	#455	1	1	yes	characteristic
185	#3496	C₂×C₄₁	1	1	yes	characteristic
186	#1954	C₂×C₄₁	1	1	yes	characteristic, complemented
187	#1800	C₂×C₄₁	1	1	yes	characteristic, complemented
188	#1547	C₂×C₄₁	1	2	yes	complemented
189	#1492	C₂×C₄₁	1	2	yes	complemented
190	C₂×C₄₁	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄₁	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄₁	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄₁	—	8	4	no	—
194	C₂×C₄₁	#1786	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄₁	#1791	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄₁	#1792	1	1	yes	characteristic
197	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
198	#547	—	2	2	no	—
199	#546	—	2	4	no	—
200	D₄²	—	2	2	no	—
201	#537	—	2	1	no	—
202	#534	C₄×C₄₁	1	4	yes	—
203	#532	C₂²×C₄₁	1	2	yes	—
204	C₂×#121	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄×D₄	C₂²×C₄₁	1	1	yes	characteristic
206	#423	C₂²×C₄₁	1	2	yes	complemented
207	C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₄₁	1	1	yes	characteristic, complemented
208	C₂×#100	—	2	1	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₄₁	1	1	yes	characteristic, complemented
211	#343	—	2	1	no	—
212	#332	—	2	2	no	—
213	#331	—	2	2	no	—
214	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄₁	#8353	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
216	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
217	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
218	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
219	C₂×#41	—	2	4	no	—
220	C₂×#41	—	2	2	no	—
221	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×D₄	D₄×C₄₁	1	1	yes	characteristic
225	C₂³×C₄	D₄×C₄₁	1	2	yes	—
226	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
229	C₄⋊Q₈	D₄×C₄₁	1	2	yes	—
230	#127	D₄×C₄₁	1	2	yes	—
231	#124	—	2	2	no	—
232	#123	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
234	#121	—	2	4	no	—
235	#121	—	2	4	no	—
236	#121	—	2	4	no	—
237	#121	—	2	4	no	—
238	#121	—	2	2	no	—
239	#121	C₂×C₄×C₄₁	1	4	yes	—
240	#120	—	2	8	no	—
241	C₄×D₄	—	2	2	no	—
242	C₄×D₄	—	2	2	no	—
243	C₄×D₄	—	2	2	no	—
244	C₄×D₄	D₄×C₄₁	1	4	yes	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₄₁	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₄₁	1	2	yes	—
249	C₂×C₄²	C₂³×C₄₁	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
253	#100	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
255	C₄×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂⁴	—	2	4	no	—
257	C₂⁴	C₂²⋊C₄×C₄₁	1	2	yes	—
258	#41	—	4	8	no	—
259	#41	—	4	8	no	—
260	#41	—	4	2	no	—
261	#41	—	4	2	no	—
262	#41	—	4	2	no	—
263	#41	—	4	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
265	C₂×D₄	—	2	8	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	8	no	—
273	C₂×D₄	—	4	8	no	—
274	C₂×D₄	—	4	8	no	—
275	C₂×D₄	—	4	8	no	—
276	C₂×D₄	—	8	2	no	—
277	C₂×D₄	—	8	2	no	—
278	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₄₁	1	4	yes	—
279	C₂×D₄	D₈×C₄₁	1	2	yes	—
280	C₂×D₄	SD₁₆×C₄₁	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₄₁	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₄₁	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₄₁	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₄₁	1	1	yes	characteristic
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄×C₄₁	1	4	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄²	C₂×D₄×C₄₁	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×D₄×C₄₁	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	8	4	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	#102×C₄₁	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₄₁	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	D₄	—	2	4	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₄₁	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#120×C₄₁	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#120×C₄₁	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#120×C₄₁	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×D₈×C₄₁	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×SD₁₆×C₄₁	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)×C₄₁	1	2	yes	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	—	8	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	16	8	no	—
365	C₂²	C₄₁×#379	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#102×C₄₁	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₄₁×#418	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	C₄₁×#447	1	2	yes	—
373	C₄	C₄₁×#450	1	2	yes	—
374	C₄	C₄₁×#453	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₄₁×#455	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	1	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	8	4	no	—
380	C₂	C₄₁×#1786	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₄₁×#1791	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₄₁×#1792	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₄₁	#379
commutator	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₄₁
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂³×C₄₁
prime radical	C₄₁×#3496	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄₁ ◁ C₂×C₄²×C₄₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄₁×#1954	C₂	semidirect
3. C₄₁×#1800	C₂	semidirect
4. C₄₁×#1547	C₂	semidirect
5. C₄₁×#1492	C₂	semidirect
15. C₄₁×#423	C₂²	semidirect
16. C₂×C₄⋊C₈×C₄₁	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄×C₈×C₄₁	C₂²	semidirect
162. #8353	C₄₁	direct (N × H)
186. #1954	C₂×C₄₁	semidirect
187. #1800	C₂×C₄₁	semidirect
188. #1547	C₂×C₄₁	semidirect
189. #1492	C₂×C₄₁	semidirect
206. #423	C₂²×C₄₁	semidirect
207. C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₄₁	semidirect
210. C₂×C₄×C₈	C₂²×C₄₁	semidirect
215. C₄₁	#8353	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄₁×#3496	2
C₄₁×#1954	2
C₄₁×#1800	2
C₄₁×#1547	2
C₄₁×#1492	2
#8353	41

Subgroups — C41×#8353 #23784554

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₄₁×#8353 #23784554