Subgroups — #238001

Order 512.

1036 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17574	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10370	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#8095	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#533	—	2	1	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#104	—	2	1	no	—
12	C₂²×#104	—	2	1	no	—
13	#2660	—	2	4	no	—
14	#2659	—	2	4	no	—
15	#2399	—	2	2	no	—
16	#2399	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#2285	—	2	1	no	—
18	#2285	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1963	—	2	2	no	—
21	#1963	C₂²	1	4	yes	—
22	#1519	—	2	4	no	—
23	#1517	—	2	4	no	—
24	#1502	C₂²	1	8	yes	—
25	#1303	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#1274	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂²×#41	—	2	1	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
29	#533	—	4	4	no	—
30	#533	—	4	4	no	—
31	#532	—	2	2	no	—
32	#532	—	2	1	no	—
33	#532	—	2	2	no	—
34	#532	—	2	1	no	—
35	#532	Q₈	1	2	yes	complemented
36	#532	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₂×#125	—	2	2	no	—
41	C₂×#124	—	2	1	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×#121	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#431	—	2	2	no	—
51	#431	—	2	2	no	—
52	#431	—	2	2	no	—
53	#431	C₂³	1	4	yes	—
54	#423	—	2	2	no	—
55	#423	—	2	1	no	—
56	#423	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#104	—	2	4	no	—
60	C₂×#104	—	2	4	no	—
61	C₂×#104	—	4	4	no	—
62	C₂×#104	—	4	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	#398	—	2	8	no	—
66	#398	—	2	8	no	—
67	#395	—	2	8	no	—
68	#395	—	2	8	no	—
69	#384	—	2	2	no	—
70	#384	—	2	2	no	—
71	#382	—	2	2	no	—
72	#382	D₄	1	4	yes	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	#380	—	2	2	no	—
75	#380	D₄	1	4	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	#376	—	2	2	no	—
80	#376	D₄	1	2	yes	—
81	#376	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	#327	—	2	16	no	—
84	C₂×#41	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	4	1	no	—
87	C₂×#41	—	4	1	no	—
88	C₂×#41	—	4	2	no	—
89	C₂×#41	—	4	2	no	—
90	C₂×#41	—	4	2	no	—
91	C₂×#41	—	4	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
111	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	#127	—	2	1	no	—
113	#127	—	2	2	no	—
114	#127	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	#125	—	4	8	no	—
116	#124	—	2	2	no	—
117	#124	—	2	2	no	—
118	#124	—	4	2	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
120	#121	—	2	4	no	—
121	#121	—	2	4	no	—
122	#121	—	4	2	no	—
123	#121	—	4	2	no	—
124	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
125	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	4	2	no	—
129	C₄×D₄	—	4	2	no	—
130	#117	—	4	4	no	—
131	#117	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
163	#104	—	4	8	no	—
164	#104	—	4	8	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	—	4	2	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	2	4	no	—
171	#95	—	2	4	no	—
172	#95	—	2	4	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂⁴	—	4	1	no	—
176	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
177	#41	—	4	2	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	#41	—	4	4	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	8	2	no	—
184	#41	—	8	2	no	—
185	#41	—	8	2	no	—
186	#41	—	8	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	1	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	8	4	no	—
202	C₂×D₄	—	8	2	no	—
203	C₂×D₄	—	8	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
217	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	8	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	8	4	no	—
239	C₂×C₈	—	8	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	4	4	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	#124	1	2	yes	—
262	C₄²	#124	1	2	yes	—
263	C₄²	#124	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
265	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	8	4	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	#393	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#393	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	#447	1	2	yes	—
276	C₂³	#448	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	Q₈	—	4	2	no	—
280	Q₈	—	8	16	no	—
281	Q₈	—	8	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	8	4	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	D₄	—	8	4	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	#393	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#393	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#448	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#476	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#476	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#489	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#489	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	8	4	no	—
333	C₈	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	16	4	no	—
342	C₂²	#2023	1	2	yes	—
343	C₂²	#2023	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	8	8	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	#2023	1	2	yes	—
356	C₄	#2023	1	2	yes	—
357	C₄	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×#476	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×#489	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	2	no	—
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	16	2	no	—
366	C₂	C₂×#2023	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#23472	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#124
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#393
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #34642	C₂	semidirect
4. #10370	C₂	semidirect
5. #8095	C₂	semidirect
6. C₂×#1274	C₂	semidirect
16. #2399	C₂²	semidirect
25. #1303	C₂²	semidirect
26. #1274	C₂²	semidirect
35. #532	Q₈	semidirect
38. C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	semidirect
39. C₂×#127	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34642	2
C₂×#1963	2
#17574	2
#10370	2
#8095	2
C₂×#1274	2