Subgroups — #238902

Order 512.

1115 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10519	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10518	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8001	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	#3245	C₂²	1	2	yes	—
10	#3245	C₂²	1	2	yes	—
11	#3226	—	2	2	no	—
12	#3205	—	2	2	no	—
13	#3186	—	2	2	no	—
14	#3169	—	2	2	no	—
15	#3100	—	2	4	no	—
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#421	—	2	2	no	—
20	C₂×#421	—	2	2	no	—
21	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1963	—	2	4	no	—
23	#1962	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#1939	—	2	2	no	—
25	#1850	—	2	2	no	—
26	#1842	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#1831	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1547	—	2	4	no	—
29	#1547	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#332	—	2	2	no	—
31	C₂×#331	—	2	2	no	—
32	#1292	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#1292	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
37	#532	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	2	no	—
39	#532	—	2	2	no	—
40	#532	—	2	2	no	—
41	#532	—	2	2	no	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	D₄	1	4	yes	—
44	#532	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×#124	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×#121	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#500	—	2	2	no	—
56	#493	—	2	2	no	—
57	#486	—	2	4	no	—
58	#480	—	2	8	no	—
59	#474	—	2	4	no	—
60	#474	—	2	4	no	—
61	#466	—	2	4	no	—
62	#466	—	2	4	no	—
63	#459	—	2	4	no	—
64	#459	—	2	4	no	—
65	#447	—	2	8	no	—
66	C₄×D₈	—	2	4	no	—
67	C₄×D₈	—	2	4	no	—
68	#431	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#421	—	4	8	no	—
84	#421	—	4	8	no	—
85	C₂×#104	—	2	8	no	—
86	C₂×#104	—	2	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
93	#376	D₄	1	2	yes	—
94	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#332	—	2	8	no	—
97	#331	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	2	no	—
101	C₂×#41	—	4	2	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂×D₈	—	2	4	no	—
116	C₂×D₈	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	—	2	2	no	—
134	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	#124	—	2	4	no	—
136	#124	—	2	4	no	—
137	#124	—	4	2	no	—
138	#124	—	4	2	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	—	4	2	no	—
144	#121	—	4	2	no	—
145	#121	—	4	2	no	—
146	#121	—	4	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	2	no	—
152	C₄×D₄	—	4	2	no	—
153	C₄×D₄	—	4	2	no	—
154	C₄×D₄	—	4	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	D₈	1	4	yes	complemented
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#107	—	2	4	no	—
179	#107	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
190	#104	—	4	16	no	—
191	#104	—	4	16	no	—
192	#102	—	2	8	no	—
193	#102	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	#95	—	2	2	no	—
198	#95	—	2	2	no	—
199	C₂⁴	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	8	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	#41	—	8	4	no	—
208	#41	—	8	4	no	—
209	#41	—	8	4	no	—
210	#41	—	8	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	2	no	—
226	C₂×D₄	—	8	2	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	D₈	—	8	4	no	—
256	D₈	—	8	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	8	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	8	4	no	—
268	C₂×C₈	—	8	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	8	2	no	—
286	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	#121	1	2	yes	—
289	C₄²	#121	1	2	yes	—
290	C₄²	#123	1	2	yes	—
291	C₄²	#123	1	2	yes	—
292	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂³	—	4	1	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	8	4	no	—
303	C₂³	#394	1	2	yes	—
304	C₂³	#466	1	2	yes	—
305	C₂³	#469	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	4	4	no	—
308	Q₈	—	4	4	no	—
309	Q₈	—	8	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	8	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₈	—	4	2	no	—
362	C₈	—	8	2	no	—
363	C₈	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	16	8	no	—
374	C₂²	#2054	1	4	yes	—
375	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	#2054	1	2	yes	—
387	C₄	#2054	1	2	yes	—
388	C₄	#3021	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3022	1	1	yes	characteristic
390	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
391	C₄	C₂×#463	1	2	yes	—
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	2	4	no	—
395	C₂	—	16	4	no	—
396	C₂	#23500	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#23527	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#2054	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#394
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#60940	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21972	C₂	semidirect
3. #21209	C₂	semidirect
4. C₂×#1547	C₂	semidirect
5. #10519	C₂	semidirect
6. #10518	C₂	semidirect
7. #8001	C₂	semidirect
23. #1962	C₂²	semidirect
26. #1842	C₂²	semidirect
27. #1831	C₂²	semidirect
29. #1547	C₂²	semidirect
32. #1292	C₂²	semidirect
33. #1292	C₂²	semidirect
157. #117	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60940	2
#21972	2
#21209	2
C₂×#1547	2
#10519	2
#10518	2
#8001	2