Subgroups — #239051

Order 512.

1178 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21257	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3169	—	2	8	no	—
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#466	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#416	—	2	2	no	—
19	C₂×#416	—	2	2	no	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1983	—	2	4	no	—
23	#1982	C₂²	1	4	yes	—
24	#1981	C₂²	1	4	yes	—
25	#1939	C₂²	1	2	yes	—
26	#1939	C₂²	1	2	yes	—
27	#1850	—	2	2	no	—
28	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
29	#1540	—	2	8	no	—
30	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
32	#1277	C₂²	1	2	yes	—
33	#1277	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
37	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	#532	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#124	—	2	2	no	—
45	C₂×#121	—	2	2	no	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#500	—	2	4	no	—
53	#493	—	2	4	no	—
54	#486	—	2	4	no	—
55	#486	—	2	4	no	—
56	#466	—	2	16	no	—
57	C₄×D₈	—	2	16	no	—
58	#431	—	2	4	no	—
59	C₂×#107	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	#416	—	4	8	no	—
68	#416	—	4	8	no	—
69	C₂×#103	—	2	4	no	—
70	C₂×#103	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	C₂×#102	—	2	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	#376	—	2	1	no	—
85	C₄³	—	2	1	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#332	—	2	8	no	—
89	#331	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	4	4	no	—
92	C₂×#41	—	4	4	no	—
93	C₂×#41	—	4	4	no	—
94	C₂×#41	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	—	4	4	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂×D₈	—	2	8	no	—
106	C₂×D₈	—	4	4	no	—
107	C₂×D₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	—	2	2	no	—
124	#127	—	2	2	no	—
125	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	#124	—	2	8	no	—
127	#124	—	4	4	no	—
128	#121	—	2	8	no	—
129	#121	—	2	8	no	—
130	#121	—	4	4	no	—
131	#121	—	4	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	8	no	—
133	C₄×D₄	—	2	8	no	—
134	C₄×D₄	—	4	4	no	—
135	C₄×D₄	—	4	4	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	D₈	1	4	yes	complemented
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	#107	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
164	#103	—	4	8	no	—
165	#103	—	4	8	no	—
166	#102	—	2	16	no	—
167	#102	—	4	8	no	—
168	#102	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	4	2	no	—
174	#95	—	2	2	no	—
175	#95	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	4	16	no	—
179	#41	—	4	16	no	—
180	#41	—	8	8	no	—
181	#41	—	8	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	4	no	—
202	C₂×D₄	—	8	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
213	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	D₈	—	4	16	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	8	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	8	8	no	—
240	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	#120	1	2	yes	—
258	C₄²	#121	1	4	yes	—
259	C₄²	#123	1	4	yes	—
260	C₄²	#124	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	4	no	—
270	C₂³	#394	1	2	yes	—
271	C₂³	#466	1	2	yes	—
272	C₂³	#469	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	4	4	no	—
275	Q₈	—	4	4	no	—
276	Q₈	—	8	2	no	—
277	Q₈	—	8	2	no	—
278	D₄	—	4	8	no	—
279	D₄	—	4	4	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	8	4	no	—
282	D₄	—	8	4	no	—
283	D₄	—	8	16	no	—
284	D₄	—	8	2	no	—
285	D₄	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	16	no	—
305	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#459	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#463	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	8	2	no	—
324	C₈	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	8	4	no	—
332	C₂²	—	16	4	no	—
333	C₂²	—	16	4	no	—
334	C₂²	#2054	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3035	1	2	yes	—
337	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3067	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	#2054	1	4	yes	—
347	C₄	#3002	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
349	C₄	C₂×#463	1	2	yes	—
350	C₄	#3131	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3135	1	1	yes	characteristic
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	16	4	no	—
354	C₂	#19125	1	2	yes	—
355	C₂	#19157	1	2	yes	—
356	C₂	#23504	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#23520	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#2054	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21349	C₂	semidirect
3. #21257	C₂	semidirect
4. C₂×#1540	C₂	semidirect
5. #10545	C₂	semidirect
6. #10540	C₂	semidirect
7. #10536	C₂	semidirect
8. C₂×#1277	C₂	semidirect
138. #117	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#21349	2
#21257	2
C₂×#1540	2
#10545	2
#10540	2
#10536	2
C₂×#1277	2