Subgroups — #239057

Order 512.

1300 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 435 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21884	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10537	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	—	2	1	no	—
10	C₂²×#135	—	2	1	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	#3147	—	2	8	no	—
13	C₂×#495	—	2	1	no	—
14	C₂×#495	—	2	1	no	—
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#424	—	2	1	no	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1988	C₂²	1	4	yes	—
24	#1982	C₂²	1	4	yes	—
25	#1939	—	2	1	no	—
26	#1939	—	2	1	no	—
27	#1939	C₂²	1	2	yes	—
28	#1939	C₂²	1	2	yes	—
29	#1893	—	2	4	no	—
30	#1802	—	2	2	no	—
31	#1802	—	2	2	no	—
32	#1729	—	2	1	no	—
33	#1547	—	2	8	no	—
34	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	2	yes	—
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	8	no	—
40	C₂×#135	—	2	8	no	—
41	C₂×#135	—	4	4	no	—
42	C₂×#135	—	4	4	no	—
43	C₂×#135	—	4	4	no	—
44	C₂×#135	—	4	4	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	#532	—	2	4	no	—
56	#532	—	2	4	no	—
57	#532	—	2	4	no	—
58	#532	D₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂×#117	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#495	—	2	8	no	—
69	#495	—	2	8	no	—
70	#494	—	2	4	no	—
71	#493	—	2	4	no	—
72	#492	—	2	4	no	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#424	—	4	4	no	—
75	#423	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
92	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#382	—	2	1	no	—
94	#380	—	2	1	no	—
95	#380	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	#340	—	2	4	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#332	—	2	8	no	—
103	#331	—	2	8	no	—
104	C₂×#41	—	2	8	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂×#41	—	4	4	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	#135	—	4	32	no	—
120	#135	—	4	32	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	2	4	no	—
134	C₂×D₈	—	2	4	no	—
135	C₂×D₈	—	4	2	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
151	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	#124	—	2	8	no	—
166	#124	—	4	4	no	—
167	#121	—	2	8	no	—
168	#121	—	2	8	no	—
169	#121	—	4	4	no	—
170	#121	—	4	4	no	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	#117	—	4	2	no	—
176	#117	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
202	#102	—	8	4	no	—
203	#102	—	8	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
212	#41	—	4	16	no	—
213	#41	—	4	16	no	—
214	#41	—	8	8	no	—
215	#41	—	8	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	8	2	no	—
238	C₂×D₄	—	8	2	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	Q₁₆	—	4	8	no	—
267	Q₁₆	—	4	8	no	—
268	SD₁₆	—	4	16	no	—
269	SD₁₆	—	4	16	no	—
270	D₈	—	4	8	no	—
271	D₈	—	4	8	no	—
272	M₁₆	—	8	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	1	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	8	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₂×C₈	—	8	8	no	—
290	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	#120	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	4	yes	—
312	C₄²	#123	1	4	yes	—
313	C₄²	#124	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₂³	—	2	1	no	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	2	1	no	—
319	C₂³	—	2	1	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	#394	1	2	yes	—
328	C₂³	#459	1	2	yes	—
329	C₂³	#460	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	4	4	no	—
332	Q₈	—	4	4	no	—
333	Q₈	—	8	2	no	—
334	Q₈	—	8	2	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	16	no	—
342	D₄	—	8	2	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	8	2	no	—
345	D₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	16	no	—
365	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#450	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#486	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#490	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
385	C₈	—	2	2	no	—
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	—	8	2	no	—
390	C₈	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	16	2	no	—
401	C₂²	—	16	2	no	—
402	C₂²	—	16	2	no	—
403	C₂²	—	16	2	no	—
404	C₂²	#2041	1	4	yes	—
405	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#3060	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3061	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	2	2	no	—
414	C₄	—	2	2	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	—	8	2	no	—
417	C₄	—	8	2	no	—
418	C₄	#2041	1	4	yes	—
419	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
420	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#3045	1	2	yes	—
422	C₄	#3046	1	2	yes	—
423	C₄	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
424	C₄	C₂×#490	1	1	yes	characteristic
425	C₂	—	2	4	no	—
426	C₂	—	16	4	no	—
427	C₂	#19189	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#19190	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#19205	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#19206	1	1	yes	characteristic
431	C₂	C₂×#2041	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#23520	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#23543	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21884	C₂	semidirect
3. #21143	C₂	semidirect
4. C₂×#1547	C₂	semidirect
5. #10538	C₂	semidirect
6. #10537	C₂	semidirect
7. #10536	C₂	semidirect
8. C₂×#1277	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#21884	2
#21143	2
C₂×#1547	2
#10538	2
#10537	2
#10536	2
C₂×#1277	2