Subgroups — #239059

Order 512.

1218 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10540	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#7872	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#486	—	2	2	no	—
12	C₂×#486	—	2	4	no	—
13	C₂×#486	—	2	4	no	—
14	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#424	—	2	1	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#102	—	2	1	no	—
20	C₂²×#102	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1982	C₂²	1	4	yes	—
24	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1957	—	2	2	no	—
26	#1956	—	2	2	no	—
27	#1939	—	2	2	no	—
28	#1939	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1787	—	2	2	no	—
30	#1786	—	2	2	no	—
31	#1729	—	2	1	no	—
32	#1549	—	2	4	no	—
33	#1545	—	2	4	no	—
34	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#486	—	2	16	no	—
65	#486	—	2	8	no	—
66	#486	—	2	8	no	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	#431	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#431	—	2	2	no	—
71	#424	—	4	4	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#103	—	2	8	no	—
80	C₂×#102	—	2	8	no	—
81	C₂×#102	—	2	8	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#384	D₄	1	2	yes	—
94	#382	—	2	1	no	—
95	#380	—	2	1	no	—
96	#380	D₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	#332	—	2	8	no	—
101	#331	—	2	8	no	—
102	C₂⁵	—	4	1	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	4	no	—
156	#127	—	2	4	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	4	2	no	—
161	#127	—	4	2	no	—
162	#127	—	4	2	no	—
163	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	#117	—	4	2	no	—
165	#117	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
195	#103	—	8	8	no	—
196	#102	—	2	16	no	—
197	#102	—	2	16	no	—
198	#102	—	8	8	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	4	2	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	—	8	4	no	—
211	C₂⁴	—	8	4	no	—
212	C₂⁴	—	8	2	no	—
213	C₂⁴	—	8	2	no	—
214	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	8	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	8	8	no	—
243	C₂×D₄	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	2	no	—
245	C₂×D₄	—	8	2	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	M₁₆	—	8	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	#120	1	2	yes	—
300	C₄²	#121	1	2	yes	—
301	C₄²	#121	1	2	yes	—
302	C₄²	#123	1	2	yes	—
303	C₄²	#123	1	2	yes	—
304	C₄²	#124	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	8	8	no	—
313	C₂³	—	8	8	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	—	8	4	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	16	8	no	—
320	C₂³	—	16	8	no	—
321	C₂³	#394	1	2	yes	—
322	C₂³	#463	1	2	yes	—
323	C₂³	#464	1	2	yes	—
324	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	4	8	no	—
326	Q₈	—	8	8	no	—
327	Q₈	—	8	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	8	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	8	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	8	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#449	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#452	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#488	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#489	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
372	C₈	—	4	2	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₈	—	8	2	no	—
376	C₈	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	16	16	no	—
385	C₂²	—	16	4	no	—
386	C₂²	—	16	4	no	—
387	C₂²	#2042	1	4	yes	—
388	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#464	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3058	1	2	yes	—
392	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	#2042	1	4	yes	—
399	C₄	#2046	1	4	yes	—
400	C₄	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#3041	1	2	yes	—
403	C₄	#3041	1	2	yes	—
404	C₄	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
405	C₄	C₂×#489	1	1	yes	characteristic
406	C₂	—	2	4	no	—
407	C₂	—	16	4	no	—
408	C₂	#19198	1	2	yes	—
409	C₂	#19214	1	2	yes	—
410	C₂	C₂×#2042	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#2046	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#23540	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21804	C₂	semidirect
4. #21143	C₂	semidirect
5. C₂×#1549	C₂	semidirect
7. #10540	C₂	semidirect
8. #7872	C₂	semidirect
24. #1981	C₂²	semidirect
28. #1939	C₂²	semidirect
34. C₂×#332	C₂²	semidirect
36. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#486	2
#21804	2
#21803	2
#21143	2
C₂×#1549	2
C₂×#1545	2
#10540	2
#7872	2