Subgroups — #239077

Order 512.

1154 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1558	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10539	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#7875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#486	—	2	2	no	—
12	C₂×#486	—	2	4	no	—
13	C₂×#486	—	2	4	no	—
14	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#102	—	2	2	no	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1993	—	2	2	no	—
22	#1987	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#1982	C₂²	1	4	yes	—
24	#1961	—	2	2	no	—
25	#1939	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#1850	—	2	2	no	—
27	#1823	—	2	2	no	—
28	#1786	—	2	2	no	—
29	#1768	—	2	2	no	—
30	#1558	—	2	4	no	—
31	#1555	—	2	4	no	—
32	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
34	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#127	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#486	—	2	16	no	—
60	#486	—	2	8	no	—
61	#486	—	2	8	no	—
62	#432	—	2	2	no	—
63	#432	—	2	2	no	—
64	#432	—	2	2	no	—
65	#432	—	2	2	no	—
66	#432	—	2	2	no	—
67	#432	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#102	—	2	16	no	—
73	C₂×#102	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	2	8	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×#97	—	2	1	no	—
79	C₂×#97	—	2	1	no	—
80	C₂×#97	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	#383	—	2	1	no	—
86	#382	D₄	1	2	yes	—
87	#381	—	2	1	no	—
88	#380	D₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	#376	—	2	1	no	—
92	#340	—	2	8	no	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	#333	—	2	8	no	—
95	#331	—	2	8	no	—
96	C₂⁵	—	4	1	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	#127	—	2	4	no	—
138	#127	—	2	4	no	—
139	#127	—	2	4	no	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	#127	—	2	2	no	—
142	#127	—	2	2	no	—
143	#127	—	4	2	no	—
144	#127	—	4	2	no	—
145	#127	—	4	2	no	—
146	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
173	#102	—	2	32	no	—
174	#102	—	8	8	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
178	#97	—	4	2	no	—
179	#97	—	4	2	no	—
180	#97	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	#95	—	2	2	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	—	8	4	no	—
191	C₂⁴	—	8	4	no	—
192	C₂⁴	—	8	4	no	—
193	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	16	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	8	8	no	—
214	C₂×D₄	—	8	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	8	no	—
216	C₂×D₄	—	8	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	8	no	—
218	C₂×D₄	—	8	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	#120	1	2	yes	—
261	C₄²	#121	1	2	yes	—
262	C₄²	#121	1	2	yes	—
263	C₄²	#123	1	2	yes	—
264	C₄²	#123	1	2	yes	—
265	C₄²	#124	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	8	8	no	—
274	C₂³	—	8	8	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	4	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	—	16	16	no	—
280	C₂³	#394	1	2	yes	—
281	C₂³	#472	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	8	4	no	—
284	Q₈	—	8	4	no	—
285	Q₈	—	8	8	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	D₄	—	8	4	no	—
289	D₄	—	8	8	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	D₄	—	8	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
322	C₈	—	4	4	no	—
323	C₈	—	8	2	no	—
324	C₈	—	8	2	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	2	8	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	8	4	no	—
332	C₂²	—	16	16	no	—
333	C₂²	—	16	8	no	—
334	C₂²	#2045	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3040	1	2	yes	—
337	C₂²	#3057	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	#3005	1	2	yes	—
347	C₄	#3042	1	2	yes	—
348	C₄	#3043	1	2	yes	—
349	C₄	#3140	1	2	yes	—
350	C₂	—	2	4	no	—
351	C₂	—	16	4	no	—
352	C₂	#19362	1	4	yes	—
353	C₂	#23506	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#2045	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#23541	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21840	C₂	semidirect
4. #21351	C₂	semidirect
5. C₂×#1558	C₂	semidirect
7. #10539	C₂	semidirect
8. #7875	C₂	semidirect
22. #1987	C₂²	semidirect
25. #1939	C₂²	semidirect
32. C₂×#333	C₂²	semidirect
34. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#486	2
#21840	2
#21810	2
#21351	2
C₂×#1558	2
C₂×#1555	2
#10539	2
#7875	2