Subgroups — #239097

Order 512.

1290 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 439 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10540	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#486	—	2	2	no	—
12	C₂×#486	—	2	4	no	—
13	C₂×#486	—	2	4	no	—
14	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#419	—	2	1	no	—
19	C₂×#419	—	2	1	no	—
20	C₂×#418	—	2	1	no	—
21	C₂×#418	—	2	1	no	—
22	C₂²×#102	—	2	2	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1982	—	2	2	no	—
26	#1982	C₂²	1	4	yes	—
27	#1981	—	2	2	no	—
28	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1939	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1850	—	2	2	no	—
31	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
32	#1546	—	2	4	no	—
33	#1545	—	2	4	no	—
34	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#486	—	2	16	no	—
66	#486	—	2	8	no	—
67	#486	—	2	8	no	—
68	#431	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	#419	—	4	4	no	—
81	#419	—	4	4	no	—
82	#418	—	4	4	no	—
83	#418	—	4	4	no	—
84	C₂×#103	—	2	4	no	—
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	16	no	—
87	C₂×#102	—	2	8	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
100	#376	—	2	1	no	—
101	C₄³	—	2	1	no	—
102	#336	—	2	4	no	—
103	#332	—	2	8	no	—
104	#331	—	2	8	no	—
105	C₂⁵	—	4	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#127	—	2	4	no	—
159	#127	—	2	4	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	4	2	no	—
165	#127	—	4	2	no	—
166	#127	—	4	2	no	—
167	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	D₈	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
205	#103	—	4	8	no	—
206	#103	—	4	8	no	—
207	#102	—	2	32	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	4	2	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	—	2	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	4	4	no	—
219	C₂⁴	—	8	4	no	—
220	C₂⁴	—	8	4	no	—
221	C₂⁴	—	8	2	no	—
222	C₂⁴	—	8	2	no	—
223	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	8	4	no	—
255	C₂×D₄	—	8	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	8	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	8	8	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	4	no	—
261	C₂×D₄	—	8	2	no	—
262	C₂×D₄	—	8	2	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
288	M₁₆	—	8	4	no	—
289	M₁₆	—	8	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	#120	1	2	yes	—
319	C₄²	#121	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	2	yes	—
321	C₄²	#123	1	2	yes	—
322	C₄²	#123	1	2	yes	—
323	C₄²	#124	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	8	8	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	8	8	no	—
334	C₂³	—	8	4	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	—	16	8	no	—
339	C₂³	—	16	8	no	—
340	C₂³	#394	1	2	yes	—
341	C₂³	#466	1	2	yes	—
342	C₂³	#469	1	2	yes	—
343	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	4	4	no	—
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	Q₈	—	8	8	no	—
347	Q₈	—	8	2	no	—
348	Q₈	—	8	2	no	—
349	D₄	—	4	8	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	8	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	8	no	—
356	D₄	—	8	4	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	8	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	8	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
397	C₈	—	4	4	no	—
398	C₈	—	8	2	no	—
399	C₈	—	8	2	no	—
400	C₈	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	2	4	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	16	16	no	—
409	C₂²	—	16	4	no	—
410	C₂²	—	16	4	no	—
411	C₂²	#2054	1	4	yes	—
412	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#3040	1	2	yes	—
414	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	2	1	no	—
419	C₄	—	2	1	no	—
420	C₄	—	4	4	no	—
421	C₄	—	8	2	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	#2046	1	4	yes	—
424	C₄	#2054	1	4	yes	—
425	C₄	#3005	1	2	yes	—
426	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
427	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
428	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
429	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#3140	1	2	yes	—
431	C₂	—	2	4	no	—
432	C₂	—	16	4	no	—
433	C₂	#19276	1	2	yes	—
434	C₂	#19301	1	2	yes	—
435	C₂	#23506	1	1	yes	characteristic
436	C₂	C₂×#2046	1	1	yes	characteristic
437	C₂	C₂×#2054	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21349	C₂	semidirect
4. #21259	C₂	semidirect
5. C₂×#1546	C₂	semidirect
7. #10540	C₂	semidirect
8. #7874	C₂	semidirect
28. #1981	C₂²	semidirect
29. #1939	C₂²	semidirect
34. C₂×#332	C₂²	semidirect
36. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#486	2
#21349	2
#21260	2
#21259	2
C₂×#1546	2
C₂×#1545	2
#10540	2
#7874	2