Subgroups — #239108

Order 512.

1214 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21258	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3169	—	2	8	no	—
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#466	—	2	1	no	—
15	C₂×#466	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#417	—	2	2	no	—
22	C₂×#417	—	2	2	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1983	—	2	4	no	—
26	#1982	C₂²	1	4	yes	—
27	#1981	C₂²	1	4	yes	—
28	#1939	—	2	1	no	—
29	#1939	—	2	1	no	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1939	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#336	—	2	1	no	—
33	#1547	—	2	8	no	—
34	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	2	yes	—
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	#532	—	2	4	no	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	#532	D₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#124	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#500	—	2	4	no	—
61	#493	—	2	4	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#466	—	2	8	no	—
65	#466	—	2	8	no	—
66	C₄×D₈	—	2	8	no	—
67	C₄×D₈	—	2	8	no	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#107	—	2	1	no	—
70	#423	—	2	4	no	—
71	#423	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	#417	—	4	8	no	—
81	#417	—	4	8	no	—
82	C₂×#103	—	2	4	no	—
83	C₂×#103	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#95	—	2	1	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#332	—	2	8	no	—
101	#331	—	2	8	no	—
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂×D₈	—	2	4	no	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	4	2	no	—
122	C₂×D₈	—	4	2	no	—
123	C₂×D₈	—	4	2	no	—
124	C₂×D₈	—	4	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	#124	—	2	8	no	—
152	#124	—	4	4	no	—
153	#121	—	2	8	no	—
154	#121	—	2	8	no	—
155	#121	—	4	4	no	—
156	#121	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	8	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	4	yes	complemented
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	#107	—	2	4	no	—
183	#107	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
191	#103	—	4	8	no	—
192	#103	—	4	8	no	—
193	#102	—	2	8	no	—
194	#102	—	2	8	no	—
195	#102	—	4	8	no	—
196	#102	—	4	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	#95	—	2	2	no	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	4	16	no	—
206	#41	—	4	16	no	—
207	#41	—	8	8	no	—
208	#41	—	8	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	8	2	no	—
231	C₂×D₄	—	8	2	no	—
232	C₂×D₄	—	8	4	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	D₈	—	4	8	no	—
266	D₈	—	4	8	no	—
267	M₁₆	—	8	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	1	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	8	4	no	—
287	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	#120	1	2	yes	—
304	C₄²	#121	1	4	yes	—
305	C₄²	#123	1	4	yes	—
306	C₄²	#124	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	#394	1	2	yes	—
321	C₂³	#466	1	2	yes	—
322	C₂³	#469	1	2	yes	—
323	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	Q₈	—	8	2	no	—
327	Q₈	—	8	2	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	16	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	16	no	—
362	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#459	1	8	yes	—
366	C₂×C₄	#463	1	8	yes	—
367	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	4	1	no	—
383	C₈	—	4	1	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₈	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	2	2	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	—	16	2	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	#2054	1	4	yes	—
400	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#3036	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#3037	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	#2054	1	4	yes	—
414	C₄	#3006	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#3007	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
417	C₄	C₂×#463	1	2	yes	—
418	C₄	#3141	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3142	1	1	yes	characteristic
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	16	4	no	—
422	C₂	#19255	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#19261	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#19280	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#19286	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#23508	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#23520	1	1	yes	characteristic
428	C₂	C₂×#2054	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21258	C₂	semidirect
3. C₂×#1939	C₂	semidirect
4. C₂×#1547	C₂	semidirect
5. #10545	C₂	semidirect
6. #10540	C₂	semidirect
7. #10536	C₂	semidirect
8. #7874	C₂	semidirect
167. C₂×C₄⋊C₄	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#21258	2
C₂×#1939	2
C₂×#1547	2
#10545	2
#10540	2
#10536	2
#7874	2