Subgroups — #239113

Order 512.

1160 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#7873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3138	—	2	4	no	—
13	#3138	—	2	4	no	—
14	C₂×#490	—	2	2	no	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#424	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#418	—	2	1	no	—
22	C₂×#418	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1987	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1982	C₂²	1	4	yes	—
27	#1981	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1957	—	2	2	no	—
29	#1940	—	2	2	no	—
30	#1939	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1892	—	2	2	no	—
32	#1803	—	2	2	no	—
33	#1786	—	2	2	no	—
34	#1729	—	2	1	no	—
35	#1542	—	2	4	no	—
36	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#331	—	2	4	no	—
39	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
40	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#125	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×#117	—	2	1	no	—
68	C₂×#117	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#490	—	2	16	no	—
71	#486	—	2	4	no	—
72	#486	—	2	4	no	—
73	#486	—	2	4	no	—
74	#486	—	2	4	no	—
75	#431	—	2	2	no	—
76	#431	—	2	2	no	—
77	#424	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	#418	—	2	8	no	—
89	#418	—	2	8	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	2	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	#384	D₄	1	2	yes	—
104	#382	—	2	1	no	—
105	#380	—	2	1	no	—
106	#380	D₄	1	2	yes	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	#340	—	2	4	no	—
110	#336	—	2	4	no	—
111	#333	—	2	4	no	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	8	no	—
114	C₂⁵	—	4	1	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	#127	—	2	4	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	4	2	no	—
170	#127	—	4	2	no	—
171	#127	—	4	2	no	—
172	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	#125	—	2	4	no	—
174	#125	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	4	2	no	—
185	#117	—	4	2	no	—
186	#117	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
215	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
216	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
217	#103	—	8	4	no	—
218	#102	—	2	8	no	—
219	#102	—	2	8	no	—
220	#102	—	2	8	no	—
221	#102	—	2	8	no	—
222	#102	—	8	4	no	—
223	#102	—	8	4	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
225	#97	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	2	2	no	—
228	C₄×C₈	—	4	2	no	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	2	2	no	—
231	C₂⁴	—	4	2	no	—
232	C₂⁴	—	4	4	no	—
233	C₂⁴	—	8	4	no	—
234	C₂⁴	—	8	4	no	—
235	C₂⁴	—	8	2	no	—
236	C₂⁴	—	8	2	no	—
237	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	8	4	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	4	no	—
266	C₂×D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×D₄	—	8	8	no	—
269	C₂×D₄	—	8	8	no	—
270	C₂×D₄	—	8	2	no	—
271	C₂×D₄	—	8	2	no	—
272	C₂×D₄	—	8	4	no	—
273	C₂×D₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	M₁₆	—	4	4	no	—
297	M₁₆	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	4	no	—
311	C₂×C₈	—	4	2	no	—
312	C₂×C₈	—	8	4	no	—
313	C₂×C₈	—	8	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₄²	—	4	2	no	—
332	C₄²	—	4	4	no	—
333	C₄²	#120	1	2	yes	—
334	C₄²	#121	1	2	yes	—
335	C₄²	#121	1	2	yes	—
336	C₄²	#123	1	2	yes	—
337	C₄²	#123	1	2	yes	—
338	C₄²	#124	1	2	yes	—
339	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
342	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	—	2	2	no	—
344	C₂³	—	2	2	no	—
345	C₂³	—	4	4	no	—
346	C₂³	—	8	8	no	—
347	C₂³	—	8	8	no	—
348	C₂³	—	8	2	no	—
349	C₂³	—	8	2	no	—
350	C₂³	—	8	4	no	—
351	C₂³	—	8	8	no	—
352	C₂³	—	8	4	no	—
353	C₂³	—	16	8	no	—
354	C₂³	—	16	8	no	—
355	C₂³	#394	1	2	yes	—
356	C₂³	#463	1	2	yes	—
357	C₂³	#464	1	2	yes	—
358	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
359	Q₈	—	4	4	no	—
360	Q₈	—	8	2	no	—
361	Q₈	—	8	2	no	—
362	Q₈	—	8	1	no	—
363	Q₈	—	8	1	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	D₄	—	8	4	no	—
369	D₄	—	8	4	no	—
370	D₄	—	8	8	no	—
371	D₄	—	8	8	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	8	2	no	—
374	D₄	—	8	4	no	—
375	D₄	—	8	8	no	—
376	C₂×C₄	—	2	2	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	—	8	2	no	—
391	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#449	1	4	yes	—
395	C₂×C₄	#452	1	4	yes	—
396	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#488	1	4	yes	—
399	C₂×C₄	#489	1	4	yes	—
400	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
412	C₈	—	4	2	no	—
413	C₈	—	4	2	no	—
414	C₈	—	8	2	no	—
415	C₈	—	8	2	no	—
416	C₈	—	8	2	no	—
417	C₂²	—	2	4	no	—
418	C₂²	—	2	4	no	—
419	C₂²	—	2	2	no	—
420	C₂²	—	2	2	no	—
421	C₂²	—	8	4	no	—
422	C₂²	—	8	4	no	—
423	C₂²	—	8	4	no	—
424	C₂²	—	16	16	no	—
425	C₂²	—	16	4	no	—
426	C₂²	—	16	4	no	—
427	C₂²	#2042	1	4	yes	—
428	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	C₂×#464	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#3062	1	2	yes	—
432	C₂²	#3068	1	2	yes	—
433	C₄	—	2	1	no	—
434	C₄	—	2	1	no	—
435	C₄	—	2	2	no	—
436	C₄	—	2	2	no	—
437	C₄	—	8	4	no	—
438	C₄	—	8	2	no	—
439	C₄	—	8	2	no	—
440	C₄	#2042	1	4	yes	—
441	C₄	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
442	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
443	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#3042	1	1	yes	characteristic
445	C₄	#3045	1	2	yes	—
446	C₄	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
447	C₄	C₂×#489	1	1	yes	characteristic
448	C₂	—	2	4	no	—
449	C₂	—	16	4	no	—
450	C₂	#19234	1	2	yes	—
451	C₂	#19242	1	2	yes	—
452	C₂	C₂×#2042	1	1	yes	characteristic
453	C₂	#23521	1	1	yes	characteristic
454	C₂	#23544	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21885	C₂	semidirect
4. #21145	C₂	semidirect
5. C₂×#1542	C₂	semidirect
7. #10540	C₂	semidirect
8. #10539	C₂	semidirect
9. #7873	C₂	semidirect
25. #1987	C₂²	semidirect
27. #1981	C₂²	semidirect
30. #1939	C₂²	semidirect
36. C₂×#333	C₂²	semidirect
37. C₂×#332	C₂²	semidirect
40. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
#21885	2
#21803	2
#21145	2
C₂×#1542	2
C₂²×#331	2
#10540	2
#10539	2
#7873	2