Subgroups — #239149

Order 512.

1106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21892	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#7876	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3138	—	2	4	no	—
13	#3138	—	2	4	no	—
14	C₂×#490	—	2	2	no	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#418	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1987	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#1982	C₂²	1	4	yes	—
25	#1981	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1961	—	2	2	no	—
27	#1939	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1894	—	2	2	no	—
29	#1851	—	2	2	no	—
30	#1805	—	2	2	no	—
31	#1786	—	2	2	no	—
32	#1768	—	2	2	no	—
33	#1554	—	2	4	no	—
34	#1545	—	2	4	no	—
35	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
38	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
39	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#125	—	2	1	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×#117	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#490	—	2	16	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	2	4	no	—
68	#486	—	2	4	no	—
69	#486	—	2	4	no	—
70	#432	—	2	2	no	—
71	#432	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	2	no	—
73	#431	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	#418	—	2	16	no	—
82	C₂×#103	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	#383	—	2	1	no	—
96	#382	D₄	1	2	yes	—
97	#381	—	2	1	no	—
98	#380	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
101	#376	—	2	1	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	#333	—	2	4	no	—
105	#332	—	2	4	no	—
106	#331	—	2	8	no	—
107	C₂⁵	—	4	1	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
143	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	#127	—	2	4	no	—
146	#127	—	2	4	no	—
147	#127	—	2	4	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	4	2	no	—
152	#127	—	4	2	no	—
153	#127	—	4	2	no	—
154	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	#125	—	2	4	no	—
156	#125	—	4	2	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
194	#103	—	8	4	no	—
195	#102	—	2	16	no	—
196	#102	—	2	16	no	—
197	#102	—	8	4	no	—
198	#102	—	8	4	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	#97	—	2	4	no	—
202	#97	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	—	8	4	no	—
213	C₂⁴	—	8	4	no	—
214	C₂⁴	—	8	4	no	—
215	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂×D₄	—	8	4	no	—
242	C₂×D₄	—	8	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	8	no	—
245	C₂×D₄	—	8	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	M₁₆	—	4	8	no	—
266	M₁₆	—	8	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
291	C₄²	—	4	4	no	—
292	C₄²	—	4	4	no	—
293	C₄²	#120	1	2	yes	—
294	C₄²	#121	1	2	yes	—
295	C₄²	#121	1	2	yes	—
296	C₄²	#123	1	2	yes	—
297	C₄²	#123	1	2	yes	—
298	C₄²	#124	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	8	8	no	—
308	C₂³	—	8	8	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	—	16	16	no	—
314	C₂³	#394	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	4	no	—
317	Q₈	—	8	2	no	—
318	Q₈	—	8	2	no	—
319	Q₈	—	8	1	no	—
320	Q₈	—	8	1	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	8	4	no	—
325	D₄	—	8	8	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	8	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
361	C₈	—	4	4	no	—
362	C₈	—	8	2	no	—
363	C₈	—	8	2	no	—
364	C₈	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	16	16	no	—
373	C₂²	—	16	8	no	—
374	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3040	1	2	yes	—
376	C₂²	#3062	1	2	yes	—
377	C₂²	#3068	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	#3005	1	2	yes	—
387	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3042	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3045	1	2	yes	—
390	C₄	#3140	1	2	yes	—
391	C₂	—	4	2	no	—
392	C₂	—	16	4	no	—
393	C₂	#19380	1	4	yes	—
394	C₂	#23506	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#23521	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#23544	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21892	C₂	semidirect
4. #21354	C₂	semidirect
5. C₂×#1554	C₂	semidirect
7. #10540	C₂	semidirect
8. #10539	C₂	semidirect
9. #7876	C₂	semidirect
23. #1987	C₂²	semidirect
25. #1981	C₂²	semidirect
27. #1939	C₂²	semidirect
35. C₂×#333	C₂²	semidirect
36. C₂×#332	C₂²	semidirect
38. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
#21892	2
#21810	2
#21354	2
C₂×#1554	2
C₂×#1545	2
#10540	2
#10539	2
#7876	2