Subgroups — #239159

Order 512.

1200 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10536	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#7879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3205	—	2	4	no	—
13	#3205	—	2	4	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#459	—	2	1	no	—
17	C₂×#459	—	2	1	no	—
18	C₂×#447	—	2	2	no	—
19	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1987	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#1982	C₂²	1	4	yes	—
26	#1982	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#1961	—	2	2	no	—
28	#1939	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1893	—	2	2	no	—
30	#1850	—	2	2	no	—
31	#1843	—	2	1	no	—
32	#1832	—	2	1	no	—
33	#1804	—	2	2	no	—
34	#1786	—	2	2	no	—
35	#1551	—	2	4	no	—
36	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#331	—	2	4	no	—
38	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂²×#41	—	2	1	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#124	—	2	1	no	—
64	C₂×#121	—	2	1	no	—
65	C₂×#121	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#493	—	2	4	no	—
70	#493	—	2	4	no	—
71	#486	—	2	4	no	—
72	#486	—	2	4	no	—
73	#459	—	2	8	no	—
74	#459	—	2	8	no	—
75	#447	—	2	16	no	—
76	#432	—	2	2	no	—
77	#432	—	2	2	no	—
78	#431	—	2	2	no	—
79	#431	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#383	—	2	1	no	—
102	#382	D₄	1	2	yes	—
103	#381	—	2	1	no	—
104	#380	D₄	1	2	yes	—
105	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
107	#376	—	2	1	no	—
108	#340	—	2	4	no	—
109	#336	—	2	4	no	—
110	#333	—	2	4	no	—
111	#331	—	2	8	no	—
112	#331	—	2	4	no	—
113	C₂⁵	—	4	1	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	4	2	no	—
116	C₂×#41	—	8	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×D₈	—	2	8	no	—
144	C₂×D₈	—	2	8	no	—
145	C₂×D₈	—	8	4	no	—
146	C₂×D₈	—	8	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	2	4	no	—
162	#127	—	2	4	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	1	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	1	no	—
168	#127	—	2	1	no	—
169	#127	—	4	2	no	—
170	#127	—	4	2	no	—
171	#127	—	4	2	no	—
172	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	#124	—	2	4	no	—
175	#124	—	4	2	no	—
176	#121	—	2	4	no	—
177	#121	—	2	4	no	—
178	#121	—	4	2	no	—
179	#121	—	4	2	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	2	no	—
183	C₄×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
210	#102	—	2	8	no	—
211	#102	—	2	8	no	—
212	#102	—	8	4	no	—
213	#102	—	8	4	no	—
214	#102	—	8	4	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
217	#97	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	#95	—	2	2	no	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	#95	—	2	2	no	—
223	#95	—	2	2	no	—
224	C₂⁴	—	4	1	no	—
225	C₂⁴	—	4	2	no	—
226	C₂⁴	—	4	4	no	—
227	C₂⁴	—	8	4	no	—
228	C₂⁴	—	8	4	no	—
229	C₂⁴	—	8	4	no	—
230	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	8	8	no	—
232	#41	—	8	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	1	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	1	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	1	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	4	no	—
261	C₂×D₄	—	8	4	no	—
262	C₂×D₄	—	8	4	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	8	no	—
266	C₂×D₄	—	8	2	no	—
267	C₂×D₄	—	8	4	no	—
268	C₂×D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×D₄	—	8	4	no	—
270	C₂×D₄	—	8	8	no	—
271	C₂×D₄	—	8	8	no	—
272	C₂×D₄	—	8	8	no	—
273	C₂×D₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	D₈	—	8	8	no	—
296	D₈	—	8	8	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	8	4	no	—
309	C₂×C₈	—	8	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	#120	1	2	yes	—
322	C₄²	#121	1	2	yes	—
323	C₄²	#121	1	2	yes	—
324	C₄²	#123	1	2	yes	—
325	C₄²	#123	1	2	yes	—
326	C₄²	#124	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	8	8	no	—
336	C₂³	—	8	8	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	—	8	8	no	—
344	C₂³	—	16	16	no	—
345	C₂³	#394	1	2	yes	—
346	C₂³	#472	1	4	yes	—
347	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	Q₈	—	8	2	no	—
349	Q₈	—	8	2	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	8	no	—
360	D₄	—	8	8	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	8	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	8	no	—
365	D₄	—	8	2	no	—
366	D₄	—	8	4	no	—
367	D₄	—	8	1	no	—
368	D₄	—	8	1	no	—
369	D₄	—	8	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	8	8	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
401	C₈	—	4	2	no	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	8	2	no	—
404	C₈	—	8	2	no	—
405	C₈	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	2	8	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	8	4	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	16	16	no	—
416	C₂²	—	16	4	no	—
417	C₂²	—	16	8	no	—
418	C₂²	#2045	1	4	yes	—
419	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#3045	1	2	yes	—
421	C₂²	#3062	1	2	yes	—
422	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
423	C₄	—	2	2	no	—
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	1	no	—
426	C₄	—	2	1	no	—
427	C₄	—	2	2	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	#3008	1	1	yes	characteristic
431	C₄	#3009	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#3042	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#3045	1	2	yes	—
435	C₄	#3136	1	2	yes	—
436	C₂	—	2	4	no	—
437	C₂	—	16	2	no	—
438	C₂	—	16	4	no	—
439	C₂	#19582	1	4	yes	—
440	C₂	#23509	1	1	yes	characteristic
441	C₂	C₂×#2045	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#23544	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3205	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21973	C₂	semidirect
3. #21888	C₂	semidirect
4. #21810	C₂	semidirect
5. C₂×#1551	C₂	semidirect
6. C₂²×#331	C₂	semidirect
7. #10539	C₂	semidirect
8. #10536	C₂	semidirect
9. #7879	C₂	semidirect
24. #1987	C₂²	semidirect
26. #1982	C₂²	semidirect
28. #1939	C₂²	semidirect
36. C₂×#333	C₂²	semidirect
39. C₂×#331	C₂²	semidirect
40. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3205	2
#21973	2
#21888	2
#21810	2
C₂×#1551	2
C₂²×#331	2
#10539	2
#10536	2
#7879	2