Subgroups — #239246

Order 512.

996 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1553	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10542	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10537	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#7878	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3206	—	2	4	no	—
13	#3206	—	2	4	no	—
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#461	—	2	2	no	—
17	C₂×#448	—	2	2	no	—
18	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1990	—	2	2	no	—
24	#1988	C₂²	1	4	yes	—
25	#1982	C₂²	1	2	yes	—
26	#1981	C₂²	1	2	yes	—
27	#1959	—	2	2	no	—
28	#1940	—	2	2	no	—
29	#1939	C₂²	1	4	yes	—
30	#1823	—	2	2	no	—
31	#1798	—	2	2	no	—
32	#1788	—	2	2	no	—
33	#1556	—	2	4	no	—
34	#1553	—	2	4	no	—
35	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
38	#1277	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	1	no	—
40	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#124	—	2	1	no	—
57	C₂×#121	—	2	1	no	—
58	C₂×#121	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂×#117	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#492	—	2	4	no	—
66	#492	—	2	4	no	—
67	#487	—	2	4	no	—
68	#487	—	2	4	no	—
69	#461	—	2	16	no	—
70	#448	—	2	16	no	—
71	#432	—	2	2	no	—
72	#432	—	2	2	no	—
73	#432	—	2	2	no	—
74	#432	—	2	2	no	—
75	#431	—	2	2	no	—
76	#431	—	2	2	no	—
77	#431	—	2	2	no	—
78	#431	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	—	2	4	no	—
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	#384	D₄	1	2	yes	—
96	#382	—	2	1	no	—
97	#380	—	2	1	no	—
98	#380	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	#340	—	2	8	no	—
102	#336	—	2	4	no	—
103	#332	—	2	4	no	—
104	#332	—	2	8	no	—
105	#331	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	2	no	—
108	C₂×#41	—	8	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	#127	—	2	1	no	—
147	#127	—	2	1	no	—
148	#127	—	2	1	no	—
149	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	#124	—	2	4	no	—
151	#124	—	4	2	no	—
152	#121	—	2	4	no	—
153	#121	—	2	4	no	—
154	#121	—	4	2	no	—
155	#121	—	4	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	2	no	—
159	C₄×D₄	—	4	2	no	—
160	#117	—	8	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
194	#103	—	2	16	no	—
195	#103	—	8	4	no	—
196	#102	—	8	4	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	#97	—	4	2	no	—
202	#97	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	1	no	—
209	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	8	8	no	—
211	#41	—	8	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	8	2	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	SD₁₆	—	8	16	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₄²	#120	1	2	yes	—
290	C₄²	#121	1	2	yes	—
291	C₄²	#121	1	2	yes	—
292	C₄²	#123	1	2	yes	—
293	C₄²	#123	1	2	yes	—
294	C₄²	#124	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	8	1	no	—
305	C₂³	—	8	1	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	#394	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	4	8	no	—
311	Q₈	—	4	4	no	—
312	Q₈	—	8	8	no	—
313	Q₈	—	8	4	no	—
314	Q₈	—	8	2	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	8	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	8	no	—
339	C₂×C₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
355	C₈	—	4	4	no	—
356	C₈	—	8	2	no	—
357	C₈	—	8	2	no	—
358	C₈	—	8	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	16	2	no	—
368	C₂²	—	16	2	no	—
369	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3041	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#3043	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#3057	1	2	yes	—
373	C₂²	#3069	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	8	4	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	#3012	1	2	yes	—
383	C₄	#3042	1	2	yes	—
384	C₄	#3043	1	2	yes	—
385	C₄	#3136	1	2	yes	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	—	16	2	no	—
388	C₂	#19505	1	2	yes	—
389	C₂	#19521	1	2	yes	—
390	C₂	#23511	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#23522	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#23541	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21954	C₂	semidirect
3. #21833	C₂	semidirect
5. C₂×#1556	C₂	semidirect
7. #10542	C₂	semidirect
8. #10537	C₂	semidirect
9. #7878	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3206	2
#21954	2
#21833	2
#21809	2
C₂×#1556	2
C₂×#1553	2
#10542	2
#10537	2
#7878	2