Subgroups — #239259

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#17704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#17574	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10546	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#135	—	2	1	no	—
8	C₂²×#135	—	2	1	no	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3150	—	2	2	no	—
11	#3150	—	2	4	no	—
12	#3150	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#497	—	2	2	no	—
14	C₂×#496	—	2	2	no	—
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#424	—	2	1	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1940	—	2	2	no	—
21	#1940	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#1729	—	2	1	no	—
23	#1547	—	2	4	no	—
24	#1546	—	2	2	no	—
25	#1545	—	2	2	no	—
26	#1540	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#1519	—	2	4	no	—
28	#1517	—	2	4	no	—
29	#1502	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1275	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂²×#41	—	2	2	no	—
32	C₂×#135	—	2	4	no	—
33	C₂×#135	—	2	4	no	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	4	4	no	—
37	C₂×#135	—	4	4	no	—
38	C₂×#135	—	4	4	no	—
39	C₂×#135	—	4	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	D₄	1	4	yes	—
56	#532	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×#117	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#497	—	2	8	no	—
67	#497	—	2	8	no	—
68	#496	—	2	8	no	—
69	#496	—	2	8	no	—
70	#431	—	2	2	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	2	no	—
73	#431	C₂³	1	4	yes	—
74	#424	—	4	4	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	#384	—	2	1	no	—
88	#382	D₄	1	2	yes	—
89	#380	—	2	1	no	—
90	#380	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	#332	—	2	8	no	—
95	#331	—	2	8	no	—
96	#327	—	2	16	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	2	no	—
100	C₂×#41	—	4	2	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
114	#135	—	4	8	no	—
115	#135	—	4	8	no	—
116	#135	—	4	16	no	—
117	#135	—	4	16	no	—
118	#135	—	4	8	no	—
119	#135	—	4	8	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#124	—	2	4	no	—
157	#124	—	2	4	no	—
158	#124	—	4	2	no	—
159	#124	—	4	2	no	—
160	#121	—	2	4	no	—
161	#121	—	2	4	no	—
162	#121	—	2	4	no	—
163	#121	—	2	4	no	—
164	#121	—	4	2	no	—
165	#121	—	4	2	no	—
166	#121	—	4	2	no	—
167	#121	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	4	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	2	no	—
173	C₄×D₄	—	4	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	2	no	—
175	C₄×D₄	—	4	2	no	—
176	#117	—	4	2	no	—
177	#117	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
202	#97	—	2	4	no	—
203	#97	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂⁴	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	8	no	—
215	#41	—	4	8	no	—
216	#41	—	8	4	no	—
217	#41	—	8	4	no	—
218	#41	—	8	4	no	—
219	#41	—	8	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	Q₁₆	—	4	8	no	—
265	Q₁₆	—	4	8	no	—
266	SD₁₆	—	4	16	no	—
267	SD₁₆	—	4	16	no	—
268	D₈	—	4	8	no	—
269	D₈	—	4	8	no	—
270	M₁₆	—	8	2	no	—
271	M₁₆	—	8	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	8	4	no	—
285	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	#120	1	2	yes	—
302	C₄²	#121	1	2	yes	—
303	C₄²	#121	1	2	yes	—
304	C₄²	#123	1	2	yes	—
305	C₄²	#123	1	2	yes	—
306	C₄²	#124	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₂³	—	4	1	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	—	8	4	no	—
315	C₂³	#394	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#394	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#459	1	2	yes	—
318	C₂³	#460	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	4	4	no	—
321	Q₈	—	4	4	no	—
322	Q₈	—	8	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	8	4	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	8	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#490	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#490	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	2	4	no	—
373	C₈	—	8	4	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	16	8	no	—
387	C₂²	#2041	1	2	yes	—
388	C₂²	#2041	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	#2041	1	2	yes	—
399	C₄	#2041	1	2	yes	—
400	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₂×#490	1	1	yes	characteristic
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	2	no	—
408	C₂	—	16	4	no	—
409	C₂	C₂×#2041	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#23527	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#23535	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#124
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#394
prime radical	C₂×#3150	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21144	C₂	semidirect
3. #17704	C₂	semidirect
4. #17574	C₂	semidirect
5. #10546	C₂	semidirect
6. C₂×#1275	C₂	semidirect
21. #1940	C₂²	semidirect
26. #1540	C₂²	semidirect
29. #1502	C₂²	semidirect
30. #1275	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3150	2
#21144	2
#17704	2
#17574	2
#10546	2
C₂×#1275	2