Subgroups — #239275

Order 512.

1267 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#17704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1502	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10546	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#7860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#575	—	2	1	no	—
8	C₂×#575	—	2	1	no	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3153	—	2	4	no	—
11	#3152	—	2	2	no	—
12	#3151	—	2	2	no	—
13	#3150	C₂²	1	4	yes	—
14	#3147	—	2	2	no	—
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	—	2	1	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1940	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#1939	—	2	2	no	—
22	#1728	—	2	1	no	—
23	#1547	—	2	4	no	—
24	#1546	—	2	2	no	—
25	#1545	—	2	2	no	—
26	#1540	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#1502	—	2	2	no	—
28	#1502	—	2	2	no	—
29	#1502	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#327	—	2	4	no	—
31	#1275	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂²×#41	—	2	2	no	—
33	#575	—	4	4	no	—
34	#575	—	4	4	no	—
35	#575	—	4	4	no	—
36	#575	—	4	4	no	—
37	C₂×#137	—	2	4	no	—
38	C₂×#137	—	2	4	no	—
39	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
40	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
41	C₂×#135	—	2	4	no	—
42	C₂×#135	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	D₄	1	4	yes	—
53	#532	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#124	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#497	—	2	8	no	—
65	#496	—	2	8	no	—
66	#495	—	2	4	no	—
67	#495	—	2	4	no	—
68	#494	—	2	2	no	—
69	#493	—	2	2	no	—
70	#492	—	2	4	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	2	no	—
73	#431	—	2	2	no	—
74	#431	C₂³	1	4	yes	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	#332	—	2	8	no	—
96	#331	—	2	8	no	—
97	#327	—	2	8	no	—
98	#327	—	2	8	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	4	2	no	—
102	C₂×#41	—	4	2	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
117	#137	—	4	16	no	—
118	#137	—	4	16	no	—
119	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
120	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
121	#135	—	4	8	no	—
122	#135	—	4	8	no	—
123	#135	—	4	8	no	—
124	#135	—	4	8	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×D₈	—	2	4	no	—
130	C₂×D₈	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×M₁₆	D₈	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#124	—	2	4	no	—
153	#124	—	2	4	no	—
154	#124	—	4	2	no	—
155	#124	—	4	2	no	—
156	#121	—	2	4	no	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#121	—	2	4	no	—
160	#121	—	4	2	no	—
161	#121	—	4	2	no	—
162	#121	—	4	2	no	—
163	#121	—	4	2	no	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	C₄×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	#97	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	#41	—	4	8	no	—
216	#41	—	4	8	no	—
217	#41	—	8	4	no	—
218	#41	—	8	4	no	—
219	#41	—	8	4	no	—
220	#41	—	8	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
251	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	Q₁₆	—	4	8	no	—
268	Q₁₆	—	4	8	no	—
269	SD₁₆	—	4	16	no	—
270	SD₁₆	—	4	16	no	—
271	D₈	—	4	8	no	—
272	D₈	—	4	8	no	—
273	M₁₆	—	2	8	no	—
274	M₁₆	—	2	8	no	—
275	M₁₆	—	8	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	8	4	no	—
285	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	#121	1	2	yes	—
305	C₄²	#121	1	2	yes	—
306	C₄²	#123	1	2	yes	—
307	C₄²	#123	1	2	yes	—
308	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
312	C₂³	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	8	4	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	—	8	4	no	—
318	C₂³	#394	1	2	yes	—
319	C₂³	#459	1	2	yes	—
320	C₂³	#460	1	2	yes	—
321	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	8	4	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	8	8	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#450	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#486	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#490	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
374	C₈	—	2	4	no	—
375	C₈	—	2	4	no	—
376	C₈	—	8	4	no	—
377	C₈	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	16	8	no	—
388	C₂²	#2041	1	4	yes	—
389	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	#2041	1	4	yes	—
401	C₄	#2050	1	2	yes	—
402	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
404	C₄	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
405	C₄	C₂×#490	1	1	yes	characteristic
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	4	no	—
408	C₂	—	2	1	no	—
409	C₂	—	16	4	no	—
410	C₂	C₂×#2041	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#2050	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#23535	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#124
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#394
prime radical	#60639	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21146	C₂	semidirect
3. #17704	C₂	semidirect
4. C₂×#1502	C₂	semidirect
5. #10546	C₂	semidirect
6. #7860	C₂	semidirect
20. #1940	C₂²	semidirect
26. #1540	C₂²	semidirect
29. #1502	C₂²	semidirect
31. #1275	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60639	2
#21146	2
#17704	2
C₂×#1502	2
#10546	2
#7860	2