Subgroups — #240262

Order 512.

1242 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1571	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10476	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#8039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#461	—	2	4	no	—
13	C₂×#461	—	2	4	no	—
14	C₂×#461	—	2	2	no	—
15	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#418	—	2	1	no	—
21	C₂²×#103	—	2	1	no	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1990	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#1988	—	2	2	no	—
25	#1954	—	2	2	no	—
26	#1954	C₂²	1	4	yes	—
27	#1823	—	2	2	no	—
28	#1804	—	2	2	no	—
29	#1802	C₂²	1	4	yes	—
30	#1779	—	2	2	no	—
31	#1736	—	2	1	no	—
32	#1571	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1546	—	2	4	no	—
35	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1296	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#461	—	2	16	no	—
69	#461	—	2	8	no	—
70	#461	—	2	8	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	2	no	—
73	#431	—	2	2	no	—
74	#431	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	#418	—	4	4	no	—
86	C₂×#103	—	2	8	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#384	C₂³	1	2	yes	—
95	#382	—	2	1	no	—
96	#380	—	2	1	no	—
97	#380	—	2	1	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
100	#340	—	2	8	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#335	—	2	8	no	—
103	#332	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	—	2	1	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	D₈	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	4	2	no	—
162	C₄×D₄	—	4	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	2	no	—
164	C₄×D₄	—	4	2	no	—
165	#117	—	4	2	no	—
166	#117	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	#103	—	2	16	no	—
206	#102	—	4	8	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	8	8	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	#95	—	4	1	no	—
214	#95	—	4	1	no	—
215	C₂⁴	—	2	2	no	—
216	C₂⁴	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	4	2	no	—
219	C₂⁴	—	8	2	no	—
220	C₂⁴	—	8	2	no	—
221	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	SD₁₆	—	4	32	no	—
282	M₁₆	—	8	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	8	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	8	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
311	C₄²	—	8	2	no	—
312	C₄²	#120	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#121	1	2	yes	—
315	C₄²	#123	1	2	yes	—
316	C₄²	#123	1	2	yes	—
317	C₄²	#124	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	8	8	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	#394	1	2	yes	—
335	C₂³	#466	1	2	yes	—
336	C₂³	#468	1	2	yes	—
337	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	4	4	no	—
339	Q₈	—	4	4	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	Q₈	—	8	2	no	—
342	Q₈	—	8	8	no	—
343	D₄	—	2	4	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	8	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#452	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#468	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#480	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#482	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
388	C₈	—	4	4	no	—
389	C₈	—	4	4	no	—
390	C₈	—	8	2	no	—
391	C₈	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	2	4	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	4	8	no	—
398	C₂²	—	8	16	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	#2033	1	4	yes	—
403	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#3042	1	2	yes	—
405	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#3069	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	—	16	2	no	—
415	C₄	#2033	1	4	yes	—
416	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3043	1	2	yes	—
419	C₄	#3057	1	2	yes	—
420	C₄	C₂×#480	1	1	yes	characteristic
421	C₄	C₂×#482	1	1	yes	characteristic
422	C₂	—	2	4	no	—
423	C₂	—	8	4	no	—
424	C₂	#19392	1	2	yes	—
425	C₂	#19426	1	2	yes	—
426	C₂	C₂×#2033	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#23532	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#23541	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21833	C₂	semidirect
5. C₂×#1571	C₂	semidirect
6. C₂×#1546	C₂	semidirect
7. #10476	C₂	semidirect
8. #8039	C₂	semidirect
23. #1990	C₂²	semidirect
33. C₂×#335	C₂²	semidirect
35. C₂×#332	C₂²	semidirect
36. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#461	2
#21833	2
#21786	2
#20646	2
C₂×#1571	2
C₂×#1546	2
#10476	2
#8039	2