Subgroups — #240288

Order 512.

1208 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21788	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1573	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10477	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10476	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#8044	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#461	—	2	4	no	—
14	C₂×#461	—	2	4	no	—
15	C₂×#461	—	2	2	no	—
16	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#103	—	2	1	no	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1990	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#1987	—	2	2	no	—
25	#1955	—	2	2	no	—
26	#1954	C₂²	1	4	yes	—
27	#1824	—	2	1	no	—
28	#1824	—	2	1	no	—
29	#1824	—	2	1	no	—
30	#1802	C₂²	1	2	yes	—
31	#1802	C₂²	1	2	yes	—
32	#1786	—	2	1	no	—
33	#1779	—	2	1	no	—
34	#1779	—	2	1	no	—
35	#1762	—	2	2	no	—
36	#1573	—	2	4	no	—
37	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1556	—	2	4	no	—
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#1296	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#461	—	2	16	no	—
73	#461	—	2	8	no	—
74	#461	—	2	8	no	—
75	#432	—	2	2	no	—
76	#432	—	2	2	no	—
77	#432	—	2	2	no	—
78	#432	—	2	2	no	—
79	#431	—	2	2	no	—
80	#431	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#103	—	2	8	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×#97	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#384	C₂³	1	2	yes	—
103	#382	—	2	1	no	—
104	#380	—	2	1	no	—
105	#380	—	2	1	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	#340	—	2	4	no	—
109	#340	—	2	4	no	—
110	#340	—	2	2	no	—
111	#340	—	2	2	no	—
112	#335	—	2	4	no	—
113	#334	—	2	4	no	—
114	#332	—	2	4	no	—
115	#332	—	2	4	no	—
116	C₂⁵	—	2	1	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	#117	—	8	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	#103	—	2	16	no	—
212	#102	—	4	4	no	—
213	#102	—	4	4	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
220	#97	—	4	2	no	—
221	#97	—	4	2	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	2	no	—
224	#95	—	4	1	no	—
225	#95	—	4	1	no	—
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	—	4	2	no	—
229	C₂⁴	—	4	2	no	—
230	C₂⁴	—	4	2	no	—
231	C₂⁴	—	8	2	no	—
232	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	SD₁₆	—	4	32	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	4	8	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
317	C₄²	—	8	2	no	—
318	C₄²	#120	1	2	yes	—
319	C₄²	#121	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	2	yes	—
321	C₄²	#123	1	2	yes	—
322	C₄²	#123	1	2	yes	—
323	C₄²	#124	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	2	4	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	—	8	8	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	#394	1	2	yes	—
343	C₂³	#471	1	2	yes	—
344	C₂³	#473	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	8	8	no	—
349	Q₈	—	8	4	no	—
350	D₄	—	2	4	no	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	1	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	1	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	8	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
393	C₈	—	4	4	no	—
394	C₈	—	4	2	no	—
395	C₈	—	4	2	no	—
396	C₈	—	8	1	no	—
397	C₈	—	8	1	no	—
398	C₈	—	8	2	no	—
399	C₂²	—	2	4	no	—
400	C₂²	—	2	4	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	4	4	no	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	4	4	no	—
406	C₂²	—	8	16	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	—	8	2	no	—
410	C₂²	—	8	2	no	—
411	C₂²	#2052	1	4	yes	—
412	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#3042	1	2	yes	—
414	C₂²	#3055	1	2	yes	—
415	C₂²	C₂×#471	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	C₂×#473	1	1	yes	characteristic
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	2	1	no	—
419	C₄	—	2	1	no	—
420	C₄	—	2	2	no	—
421	C₄	—	2	2	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	—	8	2	no	—
424	C₄	—	16	2	no	—
425	C₄	#3003	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#3005	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#3043	1	2	yes	—
428	C₄	#3057	1	2	yes	—
429	C₄	#3094	1	2	yes	—
430	C₂	—	2	4	no	—
431	C₂	—	8	4	no	—
432	C₂	#19462	1	2	yes	—
433	C₂	#19464	1	2	yes	—
434	C₂	#23480	1	1	yes	characteristic
435	C₂	C₂×#2052	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#23541	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21834	C₂	semidirect
5. C₂×#1573	C₂	semidirect
6. C₂×#1556	C₂	semidirect
7. #10477	C₂	semidirect
8. #10476	C₂	semidirect
9. #8044	C₂	semidirect
23. #1990	C₂²	semidirect
37. C₂×#335	C₂²	semidirect
38. C₂×#334	C₂²	semidirect
40. C₂×#332	C₂²	semidirect
41. C₂×#332	C₂²	semidirect
42. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#461	2
#21834	2
#21788	2
#20738	2
C₂×#1573	2
C₂×#1556	2
#10477	2
#10476	2
#8044	2