Subgroups — #24236

Order 256.

987 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#447	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2033	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1999	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
16	D₄²	—	2	4	no	—
17	D₄²	—	2	4	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#121	—	2	1	no	—
20	C₂×#121	—	2	1	no	—
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#120	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	#459	—	2	4	no	—
28	#447	—	2	8	no	—
29	C₄×D₈	—	2	4	no	—
30	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#394	—	2	2	no	—
42	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#380	—	2	1	no	—
44	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂⁵	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
59	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
60	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
61	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×D₈	—	2	2	no	—
69	C₂×D₈	—	2	2	no	—
70	C₂×D₈	—	2	4	no	—
71	C₂×D₈	—	2	4	no	—
72	C₂×D₈	—	4	2	no	—
73	C₂×D₈	D₄	1	4	yes	complemented
74	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#127	—	2	2	no	—
78	#127	D₄	1	4	yes	complemented
79	#121	—	2	8	no	—
80	#121	—	2	4	no	—
81	#121	—	2	4	no	—
82	#121	—	2	4	no	—
83	#121	—	4	2	no	—
84	#121	—	4	4	no	—
85	#120	—	2	16	no	—
86	C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₄×D₄	—	2	2	no	—
89	C₄×D₄	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	complemented
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#107	—	2	2	no	—
106	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
107	#102	—	2	2	no	—
108	#102	—	2	4	no	—
109	#102	—	2	4	no	—
110	#102	—	2	4	no	—
111	#102	—	2	2	no	—
112	#102	—	4	2	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
115	C₄×C₈	—	2	2	no	—
116	#95	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	1	no	—
118	C₂⁴	—	2	8	no	—
119	C₂⁴	—	2	1	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	—	4	4	no	—
123	C₂⁴	—	4	4	no	—
124	C₂⁴	—	4	4	no	—
125	C₂⁴	—	8	2	no	—
126	C₂⁴	—	8	2	no	—
127	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	1	no	—
135	C₂×D₄	—	2	1	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	1	no	—
147	C₂×D₄	—	4	4	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	8	no	—
150	C₂×D₄	—	4	8	no	—
151	C₂×D₄	—	4	8	no	—
152	C₂×D₄	—	4	32	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×D₄	—	4	4	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	2	no	—
159	C₂×D₄	—	4	2	no	—
160	C₂×D₄	—	8	1	no	—
161	C₂×D₄	—	8	1	no	—
162	C₂×D₄	—	8	2	no	—
163	C₂×D₄	D₈	1	4	yes	complemented
164	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
168	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	D₈	—	2	8	no	—
189	D₈	—	4	8	no	—
190	C₂×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₈	—	2	1	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
199	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
207	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	4	16	no	—
228	C₂³	—	4	16	no	—
229	C₂³	—	4	1	no	—
230	C₂³	—	4	1	no	—
231	C₂³	—	4	1	no	—
232	C₂³	—	4	1	no	—
233	C₂³	—	4	1	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	1	no	—
237	C₂³	—	4	1	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	1	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	1	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	1	no	—
245	C₂³	—	8	8	no	—
246	C₂³	—	8	8	no	—
247	C₂³	—	8	8	no	—
248	C₂³	—	8	8	no	—
249	C₂³	—	8	8	no	—
250	C₂³	C₂×D₈	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	D₄	—	2	2	no	—
253	D₄	—	2	2	no	—
254	D₄	—	2	2	no	—
255	D₄	—	2	2	no	—
256	D₄	—	2	4	no	—
257	D₄	—	2	2	no	—
258	D₄	—	2	4	no	—
259	D₄	—	2	8	no	—
260	D₄	—	4	16	no	—
261	D₄	—	4	16	no	—
262	D₄	—	4	2	no	—
263	D₄	—	4	1	no	—
264	D₄	—	4	2	no	—
265	D₄	—	4	1	no	—
266	D₄	—	4	8	no	—
267	D₄	—	8	4	no	—
268	D₄	—	8	8	no	—
269	D₄	#121	1	4	yes	complemented
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
300	C₈	—	2	2	no	—
301	C₈	—	4	1	no	—
302	C₈	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	8	32	no	—
324	C₂²	—	8	1	no	—
325	C₂²	—	8	1	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	8	1	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	1	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	8	1	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	#447	1	4	yes	complemented
345	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
347	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	4	4	no	—
351	C₂	—	8	2	no	—
352	C₂	—	8	4	no	—
353	C₂	#2408	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#3012	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#3272	1	1	yes	characteristic
357	C₂	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#3294	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#3325	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄²	C₂	semidirect
2. C₂×#459	C₂	semidirect
3. C₂×#447	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
5. #2537	C₂	semidirect
6. #2033	C₂	semidirect
7. #1999	C₂	semidirect
8. #1957	C₂	semidirect
9. #1954	C₂	semidirect
10. #1802	C₂	semidirect
11. #1786	C₂	semidirect
15. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
22. C₂×#121	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×#107	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
34. C₂×#102	C₂²	semidirect
35. C₂×#102	C₂²	semidirect
36. C₂×#102	C₂²	semidirect
37. C₂×#102	C₂²	semidirect
38. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
39. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
40. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
42. #384	C₂²	semidirect
44. #380	C₂²	semidirect
45. #340	C₂²	semidirect
73. C₂×D₈	D₄	semidirect
78. #127	D₄	semidirect
91. C₄×D₄	D₄	semidirect
163. C₂×D₄	D₈	semidirect
167. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
198. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
269. D₄	#121	semidirect
344. C₄	#447	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄²	2
C₂×#459	2
C₂×#447	2
C₂×C₄×D₈	2
#2537	2
#2033	2
#1999	2
#1957	2
#1954	2
#1802	2
#1786	2