Subgroups — #24239

Order 256.

745 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 313 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#2035	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2000	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1787	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
16	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#121	—	2	1	no	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#461	—	2	4	no	—
28	#448	—	2	8	no	—
29	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#394	—	2	2	no	—
42	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#380	—	2	1	no	—
44	#380	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
52	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
66	C₂×SD₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
67	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
71	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
74	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	#121	—	2	4	no	—
77	#121	—	4	2	no	—
78	#121	—	4	4	no	—
79	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
80	C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
81	C₄×D₄	—	2	8	no	—
82	C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₄×D₄	—	2	2	no	—
84	C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#106	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
105	#103	—	2	2	no	—
106	#103	—	2	4	no	—
107	#103	—	2	4	no	—
108	#103	—	2	4	no	—
109	#103	—	4	2	no	—
110	#102	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
113	C₄×C₈	—	2	2	no	—
114	#95	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	2	1	no	—
116	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
127	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
132	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×Q₈	#41	1	2	yes	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂×D₄	—	2	1	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂×D₄	—	4	4	no	—
144	C₂×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂×D₄	—	8	2	no	—
146	C₂×D₄	SD₁₆	1	4	yes	complemented
147	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	SD₁₆	—	2	8	no	—
170	SD₁₆	—	4	8	no	—
171	C₂×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂×C₈	—	2	1	no	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
192	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₄²	—	2	4	no	—
199	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	4	1	no	—
209	C₂³	—	4	1	no	—
210	C₂³	—	4	1	no	—
211	C₂³	—	4	1	no	—
212	C₂³	—	4	1	no	—
213	C₂³	—	4	1	no	—
214	C₂³	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
215	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₈	—	2	2	no	—
217	Q₈	—	2	2	no	—
218	Q₈	—	2	2	no	—
219	Q₈	—	2	4	no	—
220	Q₈	—	2	4	no	—
221	Q₈	—	4	16	no	—
222	Q₈	—	4	2	no	—
223	Q₈	—	4	2	no	—
224	Q₈	#121	1	4	yes	complemented
225	D₄	—	2	2	no	—
226	D₄	—	2	2	no	—
227	D₄	—	2	8	no	—
228	D₄	—	4	1	no	—
229	D₄	—	4	1	no	—
230	D₄	—	8	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
267	C₈	—	2	2	no	—
268	C₈	—	4	1	no	—
269	C₈	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	2	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	8	1	no	—
281	C₂²	—	8	1	no	—
282	C₂²	—	8	1	no	—
283	C₂²	—	8	1	no	—
284	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
291	C₄	—	2	4	no	—
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	4	2	no	—
296	C₄	—	8	1	no	—
297	C₄	—	8	2	no	—
298	C₄	#448	1	4	yes	complemented
299	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
301	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
302	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
303	C₂	—	4	4	no	—
304	C₂	—	8	2	no	—
305	C₂	#2408	1	1	yes	characteristic
306	C₂	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#3013	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#3276	1	1	yes	characteristic
309	C₂	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#3298	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#3329	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#2537	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#461	C₂	semidirect
3. C₂×#448	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
6. #2035	C₂	semidirect
7. #2000	C₂	semidirect
8. #1956	C₂	semidirect
9. #1954	C₂	semidirect
10. #1803	C₂	semidirect
11. #1787	C₂	semidirect
66. C₂×SD₁₆	D₄	semidirect
72. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
80. C₄×Q₈	D₄	semidirect
146. C₂×D₄	SD₁₆	semidirect
224. Q₈	#121	semidirect
298. C₄	#448	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×#461	2
C₂×#448	2
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2537	2
#2035	2
#2000	2
#1956	2
#1954	2
#1803	2
#1787	2