Subgroups — #24240

Order 256.

945 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#450	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2034	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2000	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	D₄²	—	2	4	no	—
17	D₄²	—	2	4	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#121	—	2	1	no	—
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#120	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#460	—	2	4	no	—
27	#450	—	2	8	no	—
28	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#396	—	2	2	no	—
41	#390	—	2	1	no	—
42	#389	—	2	1	no	—
43	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂⁵	—	2	2	no	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
59	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
60	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
61	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
70	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
71	C₂×SD₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
72	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#127	—	2	2	no	—
76	#127	D₄	1	4	yes	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
79	#121	—	2	8	no	—
80	#121	—	2	4	no	—
81	#121	—	2	4	no	—
82	#120	—	2	16	no	—
83	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#106	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
106	#103	—	2	2	no	—
107	#102	—	2	2	no	—
108	#102	—	2	4	no	—
109	#102	—	2	4	no	—
110	#102	—	2	4	no	—
111	#102	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
114	C₄×C₈	—	2	2	no	—
115	#95	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	1	no	—
117	C₂⁴	—	2	8	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	4	4	no	—
120	C₂⁴	—	4	4	no	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	—	4	4	no	—
123	C₂⁴	—	8	2	no	—
124	C₂⁴	—	8	2	no	—
125	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
131	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	4	no	—
147	C₂×D₄	—	4	4	no	—
148	C₂×D₄	—	4	8	no	—
149	C₂×D₄	—	4	8	no	—
150	C₂×D₄	—	4	8	no	—
151	C₂×D₄	—	4	32	no	—
152	C₂×D₄	—	4	4	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	—	4	2	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	8	1	no	—
158	C₂×D₄	—	8	1	no	—
159	C₂×D₄	SD₁₆	1	4	yes	complemented
160	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	SD₁₆	—	2	8	no	—
182	SD₁₆	—	4	8	no	—
183	C₂×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂×C₈	—	2	1	no	—
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	1	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
202	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
208	C₄²	—	4	2	no	—
209	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	4	16	no	—
222	C₂³	—	4	16	no	—
223	C₂³	—	4	1	no	—
224	C₂³	—	4	1	no	—
225	C₂³	—	4	1	no	—
226	C₂³	—	4	1	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	—	4	2	no	—
230	C₂³	—	4	2	no	—
231	C₂³	—	4	2	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	8	8	no	—
234	C₂³	—	8	8	no	—
235	C₂³	—	8	8	no	—
236	C₂³	—	8	8	no	—
237	C₂³	—	8	8	no	—
238	C₂³	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
239	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	Q₈	—	2	2	no	—
241	Q₈	—	2	2	no	—
242	Q₈	—	4	1	no	—
243	Q₈	—	4	1	no	—
244	D₄	—	2	2	no	—
245	D₄	—	2	2	no	—
246	D₄	—	2	4	no	—
247	D₄	—	2	2	no	—
248	D₄	—	2	4	no	—
249	D₄	—	2	8	no	—
250	D₄	—	4	16	no	—
251	D₄	—	4	16	no	—
252	D₄	—	4	2	no	—
253	D₄	—	4	2	no	—
254	D₄	—	4	8	no	—
255	D₄	—	8	4	no	—
256	D₄	#121	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	4	1	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	4	1	no	—
291	C₈	—	4	2	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	8	32	no	—
310	C₂²	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	8	2	no	—
312	C₂²	—	8	2	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	8	1	no	—
326	C₄	—	8	2	no	—
327	C₄	#450	1	4	yes	complemented
328	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
330	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
332	C₂	—	4	4	no	—
333	C₂	—	4	4	no	—
334	C₂	—	8	4	no	—
335	C₂	#2408	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#3012	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#3274	1	1	yes	characteristic
339	C₂	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#3295	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#3324	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×D₄²	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#460	C₂	semidirect
3. C₂×#450	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
5. #2538	C₂	semidirect
6. #2034	C₂	semidirect
7. #2000	C₂	semidirect
8. #1957	C₂	semidirect
9. #1954	C₂	semidirect
10. #1802	C₂	semidirect
11. #1786	C₂	semidirect
15. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
19. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
29. C₂×#106	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#103	C₂²	semidirect
34. C₂×#102	C₂²	semidirect
35. C₂×#102	C₂²	semidirect
36. C₂×#102	C₂²	semidirect
37. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
38. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
43. #384	C₂²	semidirect
44. #380	C₂²	semidirect
45. #340	C₂²	semidirect
71. C₂×SD₁₆	D₄	semidirect
131. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
159. C₂×D₄	SD₁₆	semidirect
191. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
327. C₄	#450	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄²	2
C₂×#460	2
C₂×#450	2
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2538	2
#2034	2
#2000	2
#1957	2
#1954	2
#1802	2
#1786	2