Subgroups — #24300

Order 256.

575 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2025	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1987	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1875	C₂	1	2	yes	maximal
10	#1854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#533	—	2	4	no	—
13	#533	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#476	—	2	4	no	—
27	#474	—	2	4	no	—
28	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#388	—	2	1	no	—
38	#386	—	2	1	no	—
39	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	2	yes	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	#336	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
60	C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
61	#125	—	2	4	no	—
62	#125	—	2	4	no	—
63	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
65	#121	—	2	2	no	—
66	#121	Q₈	1	4	yes	complemented
67	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
68	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
69	C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄	—	4	4	no	—
72	#117	—	2	4	no	—
73	#117	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#107	—	2	4	no	—
99	#106	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
102	#102	—	2	4	no	—
103	#102	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
105	#95	—	2	1	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	#95	—	2	1	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
113	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
115	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₄²	—	2	8	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	2	no	—
181	C₄²	—	2	1	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₄²	—	4	2	no	—
184	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂³	—	2	1	no	—
187	C₂³	—	2	1	no	—
188	C₂³	—	2	1	no	—
189	C₂³	—	2	1	no	—
190	C₂³	—	2	1	no	—
191	C₂³	—	2	1	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	4	1	no	—
194	C₂³	—	4	1	no	—
195	C₂³	—	4	1	no	—
196	C₂³	—	4	1	no	—
197	C₂³	—	4	1	no	—
198	C₂³	—	4	1	no	—
199	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
200	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	Q₈	—	4	8	no	—
202	Q₈	—	4	8	no	—
203	D₄	—	2	2	no	—
204	D₄	—	2	2	no	—
205	D₄	—	4	8	no	—
206	D₄	—	4	1	no	—
207	D₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₈	—	4	2	no	—
252	C₈	—	4	2	no	—
253	C₂²	—	2	2	no	—
254	C₂²	—	2	2	no	—
255	C₂²	—	2	2	no	—
256	C₂²	—	4	1	no	—
257	C₂²	—	4	1	no	—
258	C₂²	—	4	1	no	—
259	C₂²	—	4	1	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	2	no	—
262	C₂²	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	8	1	no	—
264	C₂²	—	8	1	no	—
265	C₂²	—	8	1	no	—
266	C₂²	—	8	1	no	—
267	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	4	2	no	—
277	C₄	—	4	1	no	—
278	C₄	—	4	4	no	—
279	C₄	—	4	1	no	—
280	C₄	—	4	4	no	—
281	C₄	—	8	1	no	—
282	C₄	—	8	1	no	—
283	C₄	#449	1	4	yes	—
284	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
286	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂	—	4	2	no	—
289	C₂	—	8	2	no	—
290	C₂	#2409	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#3005	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#3076	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#3077	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#3233	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#3235	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#533	C₂	semidirect
2. C₂×#476	C₂	semidirect
3. C₂×#474	C₂	semidirect
5. #2059	C₂	semidirect
6. #2025	C₂	semidirect
7. #1988	C₂	semidirect
8. #1987	C₂	semidirect
10. #1854	C₂	semidirect
11. #1797	C₂	semidirect
59. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
60. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
66. #121	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂×#476	2
C₂×#474	2
C₄×#121	2
#2059	2
#2025	2
#1988	2
#1987	2
#1875	2
#1854	2
#1797	2