Subgroups — #24326

Order 256.

665 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2057	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2023	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1879	C₂	1	2	yes	maximal
10	#1862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
13	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
15	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#474	—	2	4	no	—
26	C₄×D₈	—	2	4	no	—
27	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#396	—	2	2	no	—
36	#390	C₂²	1	2	yes	—
37	#389	C₂²	1	2	yes	—
38	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#380	—	2	1	no	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	#336	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
49	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
50	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
54	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
55	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
56	C₂×D₈	—	2	2	no	—
57	C₂×D₈	—	2	2	no	—
58	C₂×D₈	Q₈	1	4	yes	complemented
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
67	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
68	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
69	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#107	—	2	2	no	—
96	#107	—	2	4	no	—
97	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
98	#102	—	2	2	no	—
99	#102	—	2	4	no	—
100	#102	—	2	2	no	—
101	#102	—	2	4	no	—
102	C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	#95	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	—	2	1	no	—
105	C₂⁴	—	2	1	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
111	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
112	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
113	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
115	C₂×Q₈	D₈	1	4	yes	complemented
116	C₂×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
127	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	D₈	—	2	8	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
156	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
176	C₄²	—	2	2	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	2	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	4	1	no	—
185	C₂³	—	4	1	no	—
186	C₂³	—	4	1	no	—
187	C₂³	—	4	1	no	—
188	C₂³	—	4	1	no	—
189	C₂³	—	4	1	no	—
190	C₂³	—	4	1	no	—
191	C₂³	—	4	1	no	—
192	C₂³	—	4	1	no	—
193	C₂³	—	4	1	no	—
194	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	Q₈	—	2	8	no	—
196	Q₈	—	4	16	no	—
197	Q₈	—	4	8	no	—
198	D₄	—	2	2	no	—
199	D₄	—	2	2	no	—
200	D₄	—	2	2	no	—
201	D₄	—	2	2	no	—
202	D₄	—	2	2	no	—
203	D₄	—	4	1	no	—
204	D₄	—	4	1	no	—
205	D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	complemented
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	2	2	no	—
240	C₈	—	4	1	no	—
241	C₈	—	4	2	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	4	2	no	—
244	C₂²	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	4	2	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	—	4	2	no	—
252	C₂²	—	8	1	no	—
253	C₂²	—	8	1	no	—
254	C₂²	—	8	1	no	—
255	C₂²	—	8	1	no	—
256	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂²	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
263	C₄	—	2	4	no	—
264	C₄	—	2	2	no	—
265	C₄	—	4	4	no	—
266	C₄	—	4	2	no	—
267	C₄	—	4	2	no	—
268	C₄	—	8	2	no	—
269	C₄	—	8	1	no	—
270	C₄	#447	1	4	yes	—
271	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₄	#536	1	1	yes	characteristic
273	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
274	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂	—	4	4	no	—
276	C₂	—	8	2	no	—
277	C₂	#2409	1	1	yes	characteristic
278	C₂	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#3013	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#3358	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#3367	1	1	yes	characteristic
282	C₂	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3384	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#474	C₂	semidirect
4. #2538	C₂	semidirect
5. #2057	C₂	semidirect
6. #2023	C₂	semidirect
7. #1990	C₂	semidirect
8. #1984	C₂	semidirect
10. #1862	C₂	semidirect
11. #1802	C₂	semidirect
58. C₂×D₈	Q₈	semidirect
115. C₂×Q₈	D₈	semidirect
126. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
155. C₂×C₈	C₂×Q₈	semidirect
205. D₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×#474	2
C₂×C₄×D₈	2
#2538	2
#2057	2
#2023	2
#1990	2
#1984	2
#1879	2
#1862	2
#1802	2