Subgroups — #243864

Order 512.

718 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20830	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#17816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#17443	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10664	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#10659	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×#1275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2920	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1985	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1985	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1955	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1955	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1869	—	2	2	no	—
22	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1838	C₂²	1	2	yes	—
25	#1810	—	2	2	no	—
26	#1778	—	2	2	no	—
27	#1749	—	2	2	no	—
28	#1572	—	2	4	no	—
29	#1571	C₂²	1	2	yes	—
30	#1571	C₂²	1	2	yes	—
31	#1570	C₂²	1	2	yes	—
32	#1570	C₂²	1	2	yes	—
33	#1568	—	2	4	no	—
34	#1488	—	2	4	no	—
35	#1487	C₂²	1	2	yes	—
36	#1487	C₂²	1	2	yes	—
37	#1486	C₂²	1	2	yes	—
38	#1486	C₂²	1	2	yes	—
39	#1476	—	2	4	no	—
40	#1275	C₂²	1	2	yes	—
41	#1275	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1275	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₄×#41	—	2	2	no	—
46	C₄×#41	—	2	2	no	—
47	C₄×#41	—	2	2	no	—
48	C₄×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#432	—	2	2	no	—
60	#432	—	2	2	no	—
61	#432	—	2	2	no	—
62	#432	—	2	2	no	—
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	—	2	2	no	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	D₄	1	4	yes	—
68	#431	C₂³	1	2	yes	—
69	#431	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	C₂×#108	—	2	2	no	—
72	#423	C₂³	1	2	yes	—
73	#423	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#407	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	1	no	—
86	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
90	#341	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#335	—	2	4	no	—
94	#335	—	2	4	no	—
95	#334	—	2	4	no	—
96	#334	—	2	4	no	—
97	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
98	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
99	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
100	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	4	1	no	—
133	C₄×D₄	—	4	1	no	—
134	C₄×D₄	—	4	2	no	—
135	C₄×D₄	—	4	2	no	—
136	C₄×D₄	—	4	1	no	—
137	C₄×D₄	—	4	1	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	4	2	no	—
141	#117	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#108	—	4	4	no	—
163	#108	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
182	#97	—	2	4	no	—
183	#97	—	2	2	no	—
184	#97	—	2	2	no	—
185	#97	—	4	2	no	—
186	#97	—	4	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	4	2	no	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂⁴	—	2	1	no	—
192	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	8	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	8	4	no	—
253	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
270	C₄²	#123	1	2	yes	—
271	C₄²	#123	1	2	yes	—
272	C₄²	#123	1	2	yes	—
273	C₄²	#127	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	4	1	no	—
280	C₂³	—	4	1	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	1	no	—
284	C₂³	#399	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#399	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	4	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	1	no	—
319	C₂×C₄	—	8	1	no	—
320	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	4	no	—
331	C₈	—	4	4	no	—
332	C₈	—	4	4	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	8	1	no	—
335	C₈	—	8	2	no	—
336	C₈	—	8	1	no	—
337	C₈	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	—	8	1	no	—
350	C₂²	—	8	1	no	—
351	C₂²	#2091	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3076	1	2	yes	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	8	1	no	—
362	C₄	—	8	1	no	—
363	C₄	#3091	1	2	yes	—
364	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3150	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	—	4	1	no	—
369	C₂	—	8	2	no	—
370	C₂	C₂×#2091	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#23730	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#23740	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#399
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20830	C₂	semidirect
3. #17816	C₂	semidirect
5. #10664	C₂	semidirect
6. #10663	C₂	semidirect
7. #10662	C₂	semidirect
8. #10661	C₂	semidirect
9. #10660	C₂	semidirect
10. #10659	C₂	semidirect
11. C₂×#1275	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21379	2
#20830	2
#17816	2
#17443	2
#10664	2
#10663	2
#10662	2
#10661	2
#10660	2
#10659	2
C₂×#1275	2