Subgroups — #244073

Order 512.

994 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21410	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21200	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10685	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#10672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#7852	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#428	—	2	4	no	—
14	C₂×#417	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1990	C₂²	1	2	yes	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1959	—	2	2	no	—
22	#1957	C₂²	1	2	yes	—
23	#1957	C₂²	1	2	yes	—
24	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1895	—	2	4	no	—
29	#1847	—	2	4	no	—
30	#1845	C₂²	1	2	yes	—
31	#1845	C₂²	1	2	yes	—
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1844	C₂²	1	2	yes	—
34	#1844	C₂²	1	2	yes	—
35	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1834	C₂²	1	2	yes	—
37	#1809	—	2	2	no	—
38	#1776	—	2	2	no	—
39	#1762	—	2	4	no	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#124	—	2	1	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#428	—	4	16	no	—
59	C₂×#107	—	2	2	no	—
60	C₂×#107	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	4	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	4	no	—
64	C₂×#106	—	2	4	no	—
65	#417	—	4	8	no	—
66	C₂×#103	—	2	2	no	—
67	C₂×#103	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	#384	—	2	2	no	—
82	#384	—	2	1	no	—
83	#384	C₂³	1	2	yes	—
84	#384	C₂³	1	2	yes	—
85	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#382	—	2	2	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	—	2	4	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	4	4	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
119	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	#127	—	2	2	no	—
121	#127	—	2	1	no	—
122	#127	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	—	4	2	no	—
125	#121	—	2	8	no	—
126	#121	—	4	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	4	no	—
129	#117	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	#107	—	4	8	no	—
155	#107	—	4	4	no	—
156	#107	—	4	8	no	—
157	#106	—	4	4	no	—
158	#106	—	4	8	no	—
159	#106	—	4	8	no	—
160	#103	—	4	4	no	—
161	#103	—	4	4	no	—
162	#102	—	4	4	no	—
163	#102	—	4	8	no	—
164	#102	—	4	4	no	—
165	#102	—	4	8	no	—
166	#97	—	2	8	no	—
167	#97	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	#95	—	4	2	no	—
175	#95	—	4	2	no	—
176	C₂⁴	—	4	1	no	—
177	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	4	16	no	—
179	#41	—	8	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	1	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	8	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	M₁₆	—	2	32	no	—
218	M₁₆	—	4	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
230	C₂×C₈	#137	1	8	yes	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₄²	—	8	4	no	—
248	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₄²	#123	1	4	yes	—
251	C₄²	#123	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	8	1	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	1	no	—
264	C₂³	#399	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	4	4	no	—
267	Q₈	—	8	2	no	—
268	D₄	—	4	4	no	—
269	D₄	—	4	8	no	—
270	D₄	—	8	8	no	—
271	D₄	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	—	8	1	no	—
284	C₂×C₄	—	8	1	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	1	no	—
288	C₂×C₄	—	8	1	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	16	4	no	—
296	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
306	C₈	—	2	8	no	—
307	C₈	—	2	8	no	—
308	C₈	—	2	4	no	—
309	C₈	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	16	1	no	—
318	C₂²	—	16	1	no	—
319	C₂²	—	16	2	no	—
320	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#3151	1	2	yes	—
323	C₂²	#3152	1	2	yes	—
324	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	4	no	—
327	C₄	—	8	2	no	—
328	C₄	—	16	2	no	—
329	C₄	—	16	1	no	—
330	C₄	—	16	1	no	—
331	C₄	—	16	2	no	—
332	C₄	#3077	1	2	yes	—
333	C₄	#3079	1	4	yes	—
334	C₄	#3092	1	4	yes	—
335	C₄	#3094	1	2	yes	—
336	C₂	—	4	2	no	—
337	C₂	—	16	2	no	—
338	C₂	#19745	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#19746	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#19748	1	2	yes	—
341	C₂	#23731	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#23734	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20824	C₂	semidirect
4. #20800	C₂	semidirect
5. #10685	C₂	semidirect
6. #10683	C₂	semidirect
7. #10680	C₂	semidirect
8. #10674	C₂	semidirect
9. #10673	C₂	semidirect
10. #10672	C₂	semidirect
11. #7852	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21410	2
#21200	2
#20824	2
#20800	2
#10685	2
#10683	2
#10680	2
#10674	2
#10673	2
#10672	2
#7852	2