Subgroups — #244250

Order 512.

750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 278 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22221	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21727	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10674	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10674	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10318	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10314	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8132	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#1990	C₂²	1	2	yes	—
18	#1990	C₂²	1	2	yes	—
19	#1990	C₂²	1	2	yes	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1969	—	2	2	no	—
22	#1956	C₂²	1	2	yes	—
23	#1956	C₂²	1	2	yes	—
24	#1944	—	2	4	no	—
25	#1942	—	2	2	no	—
26	#1928	—	2	4	no	—
27	#1863	—	2	4	no	—
28	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1845	C₂²	1	2	yes	—
30	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1845	C₂²	1	2	yes	—
32	#1776	—	2	4	no	—
33	C₄×#107	—	2	2	no	—
34	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1273	C₂²	1	2	yes	—
38	#1273	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	#500	—	2	4	no	—
45	#498	—	2	4	no	—
46	#498	—	2	4	no	—
47	#494	—	2	4	no	—
48	#487	—	2	4	no	—
49	#487	—	2	4	no	—
50	C₄×Q₁₆	—	4	8	no	—
51	C₂×#107	—	2	2	no	—
52	C₂×#107	—	2	2	no	—
53	C₂×#107	—	2	2	no	—
54	C₂×#107	—	2	4	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#106	—	2	4	no	—
57	C₂×#103	—	2	4	no	—
58	C₂×#103	—	2	4	no	—
59	C₂×#103	—	2	4	no	—
60	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#391	—	2	2	no	—
69	#391	—	2	2	no	—
70	#389	—	2	2	no	—
71	#389	—	2	2	no	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#389	—	2	2	no	—
74	#384	C₂³	1	2	yes	—
75	#384	C₂³	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#340	—	2	4	no	—
82	#340	—	2	4	no	—
83	#340	—	2	4	no	—
84	#340	—	2	4	no	—
85	#336	D₄	1	2	yes	—
86	#336	D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
90	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
91	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
102	C₄⋊Q₈	#41	1	4	yes	—
103	C₄⋊Q₈	#41	1	4	yes	—
104	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
105	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#107	—	2	8	no	—
128	#107	—	4	8	no	—
129	#107	—	4	4	no	—
130	#107	—	4	4	no	—
131	#107	—	8	4	no	—
132	#106	—	2	16	no	—
133	#103	—	2	16	no	—
134	#103	—	4	8	no	—
135	#103	—	8	4	no	—
136	#97	—	4	2	no	—
137	#97	Q₁₆	1	8	yes	complemented
138	C₄×C₈	—	2	4	no	—
139	C₄×C₈	—	2	4	no	—
140	C₄×C₈	—	2	2	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	#95	—	4	2	no	—
147	#95	—	4	2	no	—
148	#95	—	4	2	no	—
149	#95	—	4	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
153	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
154	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	Q₁₆	—	4	16	no	—
170	C₂×C₈	—	2	4	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂×C₈	—	2	4	no	—
177	C₂×C₈	—	2	4	no	—
178	C₂×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
180	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
181	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
198	C₄²	—	2	2	no	—
199	C₄²	—	2	2	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	8	4	no	—
204	C₄²	—	8	4	no	—
205	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
206	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
207	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
209	Q₈	—	4	8	no	—
210	Q₈	—	4	8	no	—
211	Q₈	—	8	4	no	—
212	Q₈	—	8	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂×C₄	—	8	2	no	—
226	C₂×C₄	—	8	2	no	—
227	C₂×C₄	—	8	2	no	—
228	C₂×C₄	—	8	2	no	—
229	C₂×C₄	—	8	2	no	—
230	C₂×C₄	—	8	2	no	—
231	C₂×C₄	—	8	2	no	—
232	C₂×C₄	—	8	2	no	—
233	C₂×C₄	—	8	2	no	—
234	C₂×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
238	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
247	C₈	—	2	8	no	—
248	C₈	—	2	4	no	—
249	C₈	—	2	4	no	—
250	C₈	—	4	4	no	—
251	C₂²	#2397	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	2	2	no	—
260	C₄	—	4	1	no	—
261	C₄	—	4	1	no	—
262	C₄	—	8	4	no	—
263	C₄	—	8	4	no	—
264	C₄	—	16	2	no	—
265	C₄	—	16	2	no	—
266	C₄	#3104	1	4	yes	—
267	C₄	#3110	1	2	yes	—
268	C₄	#3112	1	2	yes	—
269	C₄	#3124	1	4	yes	—
270	C₂	#19632	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#19633	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#19689	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#19690	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#23801	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#23803	1	1	yes	characteristic
276	C₂	#23812	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
137. #97	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22221	2
#21727	2
C₄×#500	2
C₄×#494	2
#10674	2
#10318	2
#10314	2
#8132	2