Subgroups — #24751

Order 256.

538 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#465	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#2066	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1981	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1892	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#465	—	2	8	no	—
21	#461	—	2	4	no	—
22	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	#391	C₂²	1	2	yes	—
32	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#389	—	2	1	no	—
34	#389	—	2	1	no	—
35	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#388	—	2	1	no	—
37	#386	—	2	1	no	—
38	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#380	—	2	1	no	—
40	#380	—	2	1	no	—
41	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
50	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
59	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	#121	—	2	2	no	—
66	#121	D₄	1	4	yes	—
67	C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₄×D₄	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#106	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
97	#103	—	2	4	no	—
98	#103	—	2	4	no	—
99	#103	—	4	2	no	—
100	#102	—	2	4	no	—
101	#95	—	2	1	no	—
102	#95	—	2	1	no	—
103	#95	—	2	1	no	—
104	#95	—	2	2	no	—
105	#95	—	2	2	no	—
106	C₂⁴	—	2	1	no	—
107	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂×D₄	—	4	2	no	—
121	C₂×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₄	SD₁₆	1	4	yes	complemented
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	SD₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	4	8	no	—
156	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	—	2	1	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	4	2	no	—
182	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂³	—	2	1	no	—
185	C₂³	—	2	1	no	—
186	C₂³	—	2	1	no	—
187	C₂³	—	2	1	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	4	1	no	—
190	C₂³	—	4	1	no	—
191	C₂³	—	4	1	no	—
192	C₂³	—	4	1	no	—
193	C₂³	—	4	1	no	—
194	C₂³	—	4	1	no	—
195	C₂³	#121	1	2	yes	—
196	C₂³	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
197	C₂³	#137	1	2	yes	—
198	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	Q₈	—	4	2	no	—
200	Q₈	—	4	2	no	—
201	Q₈	—	4	2	no	—
202	Q₈	—	4	2	no	—
203	D₄	—	2	2	no	—
204	D₄	—	2	2	no	—
205	D₄	—	4	8	no	—
206	D₄	—	4	1	no	—
207	D₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₈	—	2	4	no	—
252	C₈	—	4	2	no	—
253	C₂²	—	2	2	no	—
254	C₂²	—	2	2	no	—
255	C₂²	—	2	2	no	—
256	C₂²	—	2	2	no	—
257	C₂²	—	2	2	no	—
258	C₂²	—	2	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	2	no	—
262	C₂²	—	8	1	no	—
263	C₂²	—	8	1	no	—
264	C₂²	—	8	1	no	—
265	C₂²	—	8	1	no	—
266	C₂²	#461	1	4	yes	complemented
267	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	2	2	no	—
277	C₄	—	4	2	no	—
278	C₄	—	4	1	no	—
279	C₄	—	8	2	no	—
280	C₄	—	8	1	no	—
281	C₄	—	8	2	no	—
282	C₄	—	8	1	no	—
283	C₄	#465	1	4	yes	complemented
284	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
286	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
287	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
288	C₂	—	2	4	no	—
289	C₂	—	8	2	no	—
290	C₂	#2416	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₂×#461	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#3035	1	1	yes	characteristic
293	C₂	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#3056	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#3246	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#3248	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#461	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
4. #2857	C₂	semidirect
6. #2066	C₂	semidirect
7. #2055	C₂	semidirect
8. #1981	C₂	semidirect
9. #1948	C₂	semidirect
10. #1892	C₂	semidirect
11. #1802	C₂	semidirect
96. C₄⋊C₈	D₄	semidirect
140. C₂²×C₄	SD₁₆	semidirect
266. C₂²	#461	semidirect
283. C₄	#465	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#465	2
C₂×#461	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
#2857	2
C₄×#121	2
#2066	2
#2055	2
#1981	2
#1948	2
#1892	2
#1802	2