Subgroups — #24753

Order 256.

566 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#465	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2065	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#121	—	2	1	no	—
17	C₂×#121	—	2	1	no	—
18	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#465	—	2	8	no	—
22	#460	—	2	4	no	—
23	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#390	—	2	1	no	—
34	#390	—	2	1	no	—
35	#390	C₂²	1	2	yes	—
36	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#387	—	2	1	no	—
38	#385	—	2	1	no	—
39	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	#127	—	2	2	no	—
63	#127	—	2	2	no	—
64	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂²⋊Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
66	#121	—	2	4	no	—
67	#121	—	2	4	no	—
68	#121	—	4	4	no	—
69	#121	—	4	4	no	—
70	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#106	—	2	4	no	—
95	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
98	#103	—	2	4	no	—
99	#102	—	2	4	no	—
100	#102	—	2	4	no	—
101	#102	—	4	2	no	—
102	#95	—	2	1	no	—
103	#95	—	2	1	no	—
104	#95	—	2	1	no	—
105	#95	—	2	1	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	C₂⁴	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂×D₄	—	4	4	no	—
125	C₂×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
144	C₂²×C₄	SD₁₆	1	4	yes	complemented
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	SD₁₆	—	4	8	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	4	8	no	—
160	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	2	no	—
181	C₄²	—	2	1	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₄²	—	4	2	no	—
184	C₄²	—	4	2	no	—
185	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄²	#41	1	2	yes	—
187	C₂³	—	2	1	no	—
188	C₂³	—	2	1	no	—
189	C₂³	—	2	1	no	—
190	C₂³	—	2	1	no	—
191	C₂³	—	4	2	no	—
192	C₂³	—	4	2	no	—
193	C₂³	—	4	2	no	—
194	C₂³	—	4	2	no	—
195	C₂³	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	4	2	no	—
197	C₂³	—	4	2	no	—
198	C₂³	#121	1	2	yes	—
199	C₂³	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
200	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
201	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	Q₈	—	2	2	no	—
203	Q₈	—	2	2	no	—
204	Q₈	—	4	1	no	—
205	Q₈	—	4	1	no	—
206	D₄	—	4	2	no	—
207	D₄	—	4	2	no	—
208	D₄	—	4	2	no	—
209	D₄	—	4	2	no	—
210	D₄	—	8	4	no	—
211	D₄	—	8	8	no	—
212	D₄	—	8	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₈	—	2	4	no	—
256	C₈	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	2	2	no	—
258	C₂²	—	2	2	no	—
259	C₂²	—	2	2	no	—
260	C₂²	—	2	2	no	—
261	C₂²	—	2	2	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	8	2	no	—
264	C₂²	—	8	2	no	—
265	C₂²	—	8	2	no	—
266	C₂²	—	8	2	no	—
267	C₂²	—	8	2	no	—
268	C₂²	—	8	2	no	—
269	C₂²	—	8	2	no	—
270	C₂²	#460	1	4	yes	complemented
271	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
278	C₄	—	2	2	no	—
279	C₄	—	2	2	no	—
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	2	no	—
283	C₄	—	4	1	no	—
284	C₄	—	8	1	no	—
285	C₄	—	8	2	no	—
286	C₄	—	8	1	no	—
287	C₄	#465	1	4	yes	complemented
288	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
289	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
292	C₂	—	2	4	no	—
293	C₂	—	16	2	no	—
294	C₂	#2416	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#3035	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#3055	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#3246	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#3247	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#465	C₂	semidirect
2. C₂×#460	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
5. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
6. #2065	C₂	semidirect
7. #2055	C₂	semidirect
8. #1982	C₂	semidirect
9. #1948	C₂	semidirect
10. #1893	C₂	semidirect
11. #1803	C₂	semidirect
65. C₂²⋊Q₈	D₄	semidirect
97. C₄⋊C₈	D₄	semidirect
144. C₂²×C₄	SD₁₆	semidirect
270. C₂²	#460	semidirect
287. C₄	#465	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#465	2
C₂×#460	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
#2856	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
#2065	2
#2055	2
#1982	2
#1948	2
#1893	2
#1803	2