Subgroups — #24758

Order 256.

592 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#469	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2065	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#121	—	2	1	no	—
16	C₂×#121	—	2	1	no	—
17	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#469	—	2	8	no	—
23	#459	—	2	4	no	—
24	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
25	#423	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	#390	—	2	1	no	—
34	#390	—	2	1	no	—
35	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#390	C₂²	1	2	yes	—
37	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#388	—	2	1	no	—
39	#386	—	2	1	no	—
40	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×D₈	—	2	4	no	—
57	C₂×D₈	—	2	4	no	—
58	C₂×D₈	—	4	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
62	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	#127	—	2	2	no	—
65	#127	—	2	2	no	—
66	#121	—	2	2	no	—
67	#121	—	2	4	no	—
68	#121	—	2	4	no	—
69	#121	—	4	4	no	—
70	#121	—	4	4	no	—
71	#121	D₄	1	4	yes	complemented
72	C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄	—	4	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#106	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
101	#102	—	2	4	no	—
102	#102	—	2	4	no	—
103	#102	—	2	4	no	—
104	#102	—	4	2	no	—
105	#95	—	2	1	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	#95	—	2	1	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂×D₄	—	4	2	no	—
132	C₂×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	D₈	—	4	8	no	—
161	M₁₆	—	4	8	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₄²	—	2	2	no	—
188	C₄²	—	2	2	no	—
189	C₄²	—	2	1	no	—
190	C₄²	—	2	1	no	—
191	C₄²	—	4	2	no	—
192	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₂³	—	2	1	no	—
195	C₂³	—	2	1	no	—
196	C₂³	—	2	1	no	—
197	C₂³	—	2	1	no	—
198	C₂³	—	2	1	no	—
199	C₂³	—	2	1	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	4	1	no	—
202	C₂³	—	4	1	no	—
203	C₂³	—	4	1	no	—
204	C₂³	—	4	1	no	—
205	C₂³	—	4	1	no	—
206	C₂³	—	4	1	no	—
207	C₂³	—	4	2	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	—	4	2	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	#121	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	D₄	—	2	2	no	—
217	D₄	—	2	2	no	—
218	D₄	—	4	8	no	—
219	D₄	—	4	2	no	—
220	D₄	—	4	2	no	—
221	D₄	—	4	1	no	—
222	D₄	—	4	2	no	—
223	D₄	—	4	1	no	—
224	D₄	—	4	2	no	—
225	D₄	—	8	4	no	—
226	D₄	—	8	8	no	—
227	D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	8	4	no	—
256	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₈	—	2	4	no	—
269	C₈	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	4	1	no	—
274	C₂²	—	4	1	no	—
275	C₂²	—	4	1	no	—
276	C₂²	—	4	1	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	8	1	no	—
281	C₂²	—	8	1	no	—
282	C₂²	—	8	1	no	—
283	C₂²	—	8	1	no	—
284	C₂²	—	8	2	no	—
285	C₂²	—	8	2	no	—
286	C₂²	—	8	2	no	—
287	C₂²	—	8	2	no	—
288	C₂²	—	8	2	no	—
289	C₂²	—	8	2	no	—
290	C₂²	—	8	2	no	—
291	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
298	C₄	—	2	2	no	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	4	1	no	—
303	C₄	—	8	1	no	—
304	C₄	—	8	2	no	—
305	C₄	—	8	1	no	—
306	C₄	#469	1	4	yes	complemented
307	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
308	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
309	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
311	C₂	—	4	2	no	—
312	C₂	—	8	2	no	—
313	C₂	—	16	2	no	—
314	C₂	#2416	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#3036	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#3038	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#3055	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#3251	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#3253	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#469	C₂	semidirect
2. C₂×#459	C₂	semidirect
3. C₂×#423	C₂	semidirect
4. #2856	C₂	semidirect
5. C₄×#121	C₂	semidirect
6. #2065	C₂	semidirect
7. #2054	C₂	semidirect
8. #1982	C₂	semidirect
9. #1948	C₂	semidirect
10. #1895	C₂	semidirect
11. #1802	C₂	semidirect
71. #121	D₄	semidirect
100. C₄⋊C₈	D₄	semidirect
306. C₄	#469	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#469	2
C₂×#459	2
C₂×#423	2
#2856	2
C₄×#121	2
#2065	2
#2054	2
#1982	2
#1948	2
#1895	2
#1802	2