Subgroups — #24780

Order 256.

575 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2416	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2067	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2033	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1942	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1874	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#121	—	2	2	no	—
16	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	#466	—	2	4	no	—
21	#466	—	2	4	no	—
22	C₈×D₄	—	2	4	no	—
23	C₂×#107	—	2	4	no	—
24	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#396	—	2	2	no	—
36	#394	—	2	2	no	—
37	#390	C₂²	1	2	yes	—
38	#389	C₂²	1	2	yes	—
39	#386	—	2	2	no	—
40	#380	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂×D₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#121	—	2	4	no	—
64	#121	—	2	4	no	—
65	#121	—	2	4	no	—
66	#121	—	4	2	no	—
67	#121	—	4	8	no	—
68	C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#107	—	2	2	no	—
87	#107	—	2	2	no	—
88	#107	—	2	4	no	—
89	#107	D₄	1	4	yes	complemented
90	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	#102	—	2	4	no	—
92	#102	—	2	4	no	—
93	#102	—	4	2	no	—
94	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	#95	—	2	2	no	—
98	#95	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂×D₄	—	4	4	no	—
113	C₂×D₄	—	4	4	no	—
114	C₂×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂×D₄	—	8	2	no	—
116	C₂×D₄	D₈	1	4	yes	complemented
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂×C₈	—	4	4	no	—
151	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
171	C₄²	—	2	1	no	—
172	C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂³	—	2	1	no	—
174	C₂³	—	2	1	no	—
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	1	no	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	2	1	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	4	2	no	—
184	C₂³	—	4	2	no	—
185	C₂³	—	4	2	no	—
186	C₂³	—	4	2	no	—
187	C₂³	—	4	2	no	—
188	C₂³	—	4	2	no	—
189	C₂³	—	4	2	no	—
190	C₂³	#121	1	2	yes	—
191	C₂³	C₂×D₈	1	2	yes	—
192	C₂³	C₂×D₈	1	2	yes	—
193	C₂³	#135	1	2	yes	—
194	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	D₄	—	2	8	no	—
196	D₄	—	4	2	no	—
197	D₄	—	4	2	no	—
198	D₄	—	4	2	no	—
199	D₄	—	4	2	no	—
200	D₄	—	8	8	no	—
201	D₄	—	8	8	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	8	8	no	—
230	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₈	—	2	2	no	—
239	C₈	—	4	1	no	—
240	C₈	—	4	1	no	—
241	C₈	#121	1	4	yes	complemented
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	4	1	no	—
252	C₂²	—	4	1	no	—
253	C₂²	—	4	1	no	—
254	C₂²	—	4	1	no	—
255	C₂²	—	8	2	no	—
256	C₂²	—	8	2	no	—
257	C₂²	—	8	2	no	—
258	C₂²	—	8	2	no	—
259	C₂²	—	8	2	no	—
260	C₂²	—	8	2	no	—
261	C₂²	—	8	2	no	—
262	C₂²	#466	1	4	yes	complemented
263	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	2	2	no	—
272	C₄	—	4	1	no	—
273	C₄	—	4	4	no	—
274	C₄	—	4	1	no	—
275	C₄	—	8	2	no	—
276	C₄	—	8	2	no	—
277	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
278	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
279	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
280	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
281	C₂	—	2	4	no	—
282	C₂	—	4	2	no	—
283	C₂	—	16	2	no	—
284	C₂	#2416	1	1	yes	characteristic
285	C₂	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#3061	1	1	yes	characteristic
287	C₂	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#3285	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#3334	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#3339	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#466	C₂	semidirect
2. C₂×#466	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
4. C₂²×#107	C₂	semidirect
5. #2416	C₂	semidirect
6. #2067	C₂	semidirect
7. #2033	C₂	semidirect
8. #1970	C₂	semidirect
9. #1942	C₂	semidirect
10. #1874	C₂	semidirect
11. #1808	C₂	semidirect
58. C₂²×C₈	D₄	semidirect
89. #107	D₄	semidirect
116. C₂×D₄	D₈	semidirect
241. C₈	#121	semidirect
262. C₂²	#466	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#466	2
C₂×C₈×D₄	2
C₂²×#107	2
#2416	2
#2067	2
#2033	2
#1970	2
#1942	2
#1874	2
#1808	2