Subgroups — #24781

Order 256.

505 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2417	C₂	1	2	yes	maximal
6	#2068	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2036	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1969	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1942	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1872	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	#467	—	2	4	no	—
20	#467	—	2	4	no	—
21	C₈×D₄	—	2	4	no	—
22	C₂×#107	—	2	4	no	—
23	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#398	—	2	2	no	—
35	#396	—	2	2	no	—
36	#391	C₂²	1	2	yes	—
37	#389	C₂²	1	2	yes	—
38	#386	—	2	2	no	—
39	#380	—	2	2	no	—
40	#380	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
65	C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#107	—	2	2	no	—
84	#107	—	2	2	no	—
85	#107	—	2	4	no	—
86	#107	D₄	1	4	yes	complemented
87	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	#103	—	2	4	no	—
89	#103	—	2	4	no	—
90	#103	—	4	2	no	—
91	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	#95	—	2	2	no	—
95	#95	—	2	2	no	—
96	#95	—	2	2	no	—
97	#95	—	2	2	no	—
98	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	Q₁₆	1	4	yes	complemented
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	Q₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	8	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	4	4	no	—
144	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
158	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
164	C₄²	—	2	1	no	—
165	C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂³	—	2	1	no	—
167	C₂³	—	2	1	no	—
168	C₂³	—	2	1	no	—
169	C₂³	—	2	1	no	—
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	2	1	no	—
172	C₂³	—	2	1	no	—
173	C₂³	—	2	1	no	—
174	C₂³	—	2	1	no	—
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	#121	1	2	yes	—
177	C₂³	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
178	C₂³	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
179	C₂³	#135	1	2	yes	—
180	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	Q₈	—	4	2	no	—
182	Q₈	—	4	2	no	—
183	Q₈	—	4	2	no	—
184	Q₈	—	4	2	no	—
185	D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	8	8	no	—
217	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₈	—	2	2	no	—
226	C₈	—	4	1	no	—
227	C₈	—	4	1	no	—
228	C₈	#121	1	4	yes	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	2	2	no	—
231	C₂²	—	2	2	no	—
232	C₂²	—	2	2	no	—
233	C₂²	—	2	2	no	—
234	C₂²	—	2	2	no	—
235	C₂²	—	2	2	no	—
236	C₂²	—	2	2	no	—
237	C₂²	—	2	2	no	—
238	C₂²	—	4	1	no	—
239	C₂²	—	4	1	no	—
240	C₂²	—	4	1	no	—
241	C₂²	—	4	1	no	—
242	C₂²	#467	1	4	yes	complemented
243	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
250	C₄	—	2	2	no	—
251	C₄	—	2	2	no	—
252	C₄	—	4	1	no	—
253	C₄	—	4	4	no	—
254	C₄	—	4	1	no	—
255	C₄	—	8	2	no	—
256	C₄	—	8	2	no	—
257	C₄	—	8	2	no	—
258	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
259	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
260	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
261	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
262	C₂	—	2	4	no	—
263	C₂	—	4	2	no	—
264	C₂	#2416	1	1	yes	characteristic
265	C₂	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#3061	1	1	yes	characteristic
267	C₂	#3280	1	1	yes	characteristic
268	C₂	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#3336	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#3338	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#467	C₂	semidirect
2. C₂×#467	C₂	semidirect
4. C₂²×#107	C₂	semidirect
6. #2068	C₂	semidirect
7. #2036	C₂	semidirect
8. #1969	C₂	semidirect
9. #1942	C₂	semidirect
10. #1872	C₂	semidirect
11. #1808	C₂	semidirect
86. #107	D₄	semidirect
108. C₂×D₄	Q₁₆	semidirect
242. C₂²	#467	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#467	2
C₂×C₈×D₄	2
C₂²×#107	2
#2417	2
#2068	2
#2036	2
#1969	2
#1942	2
#1872	2
#1808	2