Subgroups — #24843

Order 256.

478 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2088	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2067	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1987	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1947	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1895	C₂	1	2	yes	maximal
10	#1809	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
15	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#476	—	2	4	no	—
20	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
22	#423	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
28	#391	—	2	1	no	—
29	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#389	—	2	1	no	—
31	#389	C₂²	1	2	yes	—
32	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#388	—	2	1	no	—
34	#386	—	2	1	no	—
35	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#380	—	2	1	no	—
37	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#380	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	2	yes	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
60	#121	—	2	2	no	—
61	#121	Q₈	1	4	yes	complemented
62	C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₄×D₄	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#107	—	4	2	no	—
89	#106	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
91	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
93	#102	—	2	4	no	—
94	#102	—	4	2	no	—
95	#95	—	2	1	no	—
96	#95	—	2	1	no	—
97	#95	—	2	1	no	—
98	#95	—	2	2	no	—
99	#95	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	1	no	—
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
103	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
104	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂×D₄	—	2	1	no	—
107	C₂×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	M₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₄²	—	2	2	no	—
169	C₄²	—	2	2	no	—
170	C₄²	—	2	1	no	—
171	C₄²	—	2	1	no	—
172	C₄²	—	4	2	no	—
173	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄²	#41	1	2	yes	—
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	1	no	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	4	1	no	—
183	C₂³	—	4	1	no	—
184	C₂³	—	4	1	no	—
185	C₂³	—	4	1	no	—
186	C₂³	—	4	1	no	—
187	C₂³	—	4	1	no	—
188	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	Q₈	—	8	4	no	—
191	D₄	—	2	2	no	—
192	D₄	—	2	2	no	—
193	D₄	—	4	8	no	—
194	D₄	—	4	1	no	—
195	D₄	—	4	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	2	4	no	—
240	C₈	—	4	2	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	4	1	no	—
245	C₂²	—	4	1	no	—
246	C₂²	—	4	1	no	—
247	C₂²	—	4	1	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	4	2	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	—	8	1	no	—
252	C₂²	—	8	1	no	—
253	C₂²	—	8	1	no	—
254	C₂²	—	8	1	no	—
255	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
259	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
262	C₄	—	2	2	no	—
263	C₄	—	2	2	no	—
264	C₄	—	2	2	no	—
265	C₄	—	4	2	no	—
266	C₄	—	4	1	no	—
267	C₄	—	8	1	no	—
268	C₄	—	8	2	no	—
269	C₄	—	8	1	no	—
270	C₄	—	8	2	no	—
271	C₄	#468	1	4	yes	—
272	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
273	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₄	#552	1	1	yes	characteristic
275	C₄	#554	1	1	yes	characteristic
276	C₂	—	4	2	no	—
277	C₂	—	8	2	no	—
278	C₂	#2417	1	1	yes	characteristic
279	C₂	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#3055	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#3077	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#3079	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3252	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#3253	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#476	C₂	semidirect
2. C₂×#423	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
5. #2088	C₂	semidirect
6. #2067	C₂	semidirect
7. #1987	C₂	semidirect
8. #1947	C₂	semidirect
10. #1809	C₂	semidirect
11. #1802	C₂	semidirect
61. #121	Q₈	semidirect
92. C₄⋊C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#476	2
C₂×#423	2
#2857	2
C₄×#121	2
#2088	2
#2067	2
#1987	2
#1947	2
#1895	2
#1809	2
#1802	2