Subgroups — #277309

Order 512.

818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#24731	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	D₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₈×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10587	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#463	—	2	2	no	—
14	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#107	—	2	1	no	—
19	#2548	C₂²	1	2	yes	—
20	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	#2065	—	2	2	no	—
22	#2054	—	2	2	no	—
23	#2042	—	2	2	no	—
24	#1982	C₂²	1	2	yes	—
25	#1970	—	2	1	no	—
26	#1970	—	2	1	no	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1947	C₂²	1	2	yes	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1879	—	2	2	no	—
32	#1852	—	2	2	no	—
33	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1808	—	2	1	no	—
35	#1803	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1667	—	2	4	no	—
38	C₈×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	#493	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#463	—	4	8	no	—
61	#459	—	2	4	no	—
62	#459	—	2	4	no	—
63	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
65	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
66	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
67	C₈×D₄	—	2	2	no	—
68	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×#107	—	2	1	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	4	4	no	—
73	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#103	—	2	2	no	—
82	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	4	2	no	—
89	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#394	—	4	2	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#389	—	2	2	no	—
100	#385	—	4	2	no	—
101	#384	C₂³	1	2	yes	—
102	#380	—	2	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	#340	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	2	no	—
106	#340	D₄	1	2	yes	—
107	#336	—	2	2	no	—
108	#335	—	2	2	no	—
109	#334	—	2	2	no	—
110	#331	—	2	4	no	—
111	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
112	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₈²	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×SD₁₆	D₈	1	4	yes	complemented
124	C₂×D₈	—	4	4	no	—
125	C₂×D₈	—	4	4	no	—
126	C₂×D₈	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	4	2	no	—
131	C₂×D₈	—	8	1	no	—
132	C₂×D₈	—	8	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	2	2	no	—
146	#127	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#124	—	4	4	no	—
149	#124	—	8	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×D₄	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	1	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	8	2	no	—
158	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄×D₄	#41	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	#107	—	2	2	no	—
181	#107	—	2	2	no	—
182	#107	—	4	4	no	—
183	#107	—	4	2	no	—
184	#107	—	8	1	no	—
185	#106	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	#103	—	2	2	no	—
195	#103	—	4	4	no	—
196	#102	—	2	2	no	—
197	#102	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#102	—	8	2	no	—
200	#102	—	8	2	no	—
201	#102	—	8	2	no	—
202	#102	—	8	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	—	2	1	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	4	2	no	—
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	—	4	2	no	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂×D₄	—	2	1	no	—
223	C₂×D₄	—	2	1	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	8	2	no	—
239	C₂×D₄	—	8	2	no	—
240	C₂×D₄	#121	1	2	yes	—
241	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
242	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
261	SD₁₆	—	2	8	no	—
262	D₈	—	8	4	no	—
263	D₈	—	8	8	no	—
264	D₈	—	8	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	8	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	1	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₄⋊C₄	#121	1	2	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	—	4	1	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	1	no	—
326	C₂³	—	4	1	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	—	8	2	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
336	Q₈	—	2	2	no	—
337	Q₈	—	2	2	no	—
338	Q₈	—	4	1	no	—
339	Q₈	—	4	1	no	—
340	D₄	—	2	2	no	—
341	D₄	—	2	2	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	2	no	—
345	D₄	—	8	2	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	8	2	no	—
352	D₄	—	16	2	no	—
353	D₄	#466	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	—	2	1	no	—
355	C₂×C₄	—	2	1	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	16	8	no	—
379	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
393	C₈	—	2	2	no	—
394	C₈	—	2	2	no	—
395	C₈	—	4	2	no	—
396	C₈	—	4	2	no	—
397	C₈	—	4	1	no	—
398	C₈	—	8	1	no	—
399	C₈	—	8	2	no	—
400	C₈	#463	1	4	yes	complemented
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	—	4	2	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	4	2	no	—
408	C₂²	—	16	2	no	—
409	C₂²	—	16	2	no	—
410	C₂²	—	16	2	no	—
411	C₂²	—	16	2	no	—
412	C₂²	—	16	2	no	—
413	C₂²	—	16	2	no	—
414	C₂²	—	16	2	no	—
415	C₂²	#2416	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
422	C₄	—	2	1	no	—
423	C₄	—	2	1	no	—
424	C₄	—	4	2	no	—
425	C₄	—	4	2	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	—	8	2	no	—
428	C₄	—	8	1	no	—
429	C₄	—	16	2	no	—
430	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
431	C₄	#3045	1	1	yes	characteristic
432	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#3334	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#3361	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#3373	1	1	yes	characteristic
438	C₂	—	4	4	no	—
439	C₂	—	32	2	no	—
440	C₂	#19885	1	1	yes	characteristic
441	C₂	#19935	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#19972	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#20012	1	1	yes	characteristic
444	C₂	#24731	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#24780	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#24797	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1667	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28736	C₂	semidirect
2. #24731	C₂	semidirect
3. D₄×#107	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×SD₁₆	C₂	semidirect
6. #10587	C₂	semidirect
7. #10411	C₂	semidirect
8. #9824	C₂	semidirect
9. #9594	C₂	semidirect
10. #8977	C₂	semidirect
11. #8645	C₂	semidirect
123. C₂×SD₁₆	D₈	semidirect
400. C₈	#463	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28736	2
#24731	2
D₄×#107	2
C₂×#1667	2
C₂×C₈×SD₁₆	2
#10587	2
#10411	2
#9824	2
#9594	2
#8977	2
#8645	2