Finite Group Databasebeta

Subgroups — #27811

Order 256.

365 conjugacy classes of subgroups; only the 115 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 365 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 115 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2037	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2027	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1978	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1931	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#544	C₂²	1	2	yes	—
15	#535	C₂²	1	2	yes	—
16	#501	—	2	2	no	—
17	#499	—	2	1	no	—
18	#498	—	2	1	no	—
19	#490	—	2	2	no	—
20	#489	—	2	2	no	—
21	#488	—	2	2	no	—
22	#486	—	2	2	no	—
23	#469	—	2	1	no	—
24	#469	—	2	1	no	—
25	#466	—	2	2	no	—
26	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#428	C₂²	1	2	yes	—
28	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#418	C₂²	1	2	yes	—
32	#418	C₂²	1	2	yes	—
33	#417	C₂²	1	2	yes	—
34	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
37	#405	C₂²	1	2	yes	—
38	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#343	C₂²	1	2	yes	—
42	#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#339	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂×D₈	—	2	1	no	—
49	C₂×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂×D₈	—	2	2	no	—
51	#131	—	2	2	no	—
52	#131	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	#127	—	2	2	no	—
63	#125	—	2	2	no	—
64	#125	—	2	2	no	—
65	#124	—	2	2	no	—
66	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
67	#121	—	2	2	no	—
68	#121	—	2	2	no	—
69	#120	—	4	2	no	—
70	#117	C₂³	1	2	yes	—
71	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#108	—	2	2	no	—
76	#107	—	2	2	no	—
77	#107	D₄	1	2	yes	—
78	#106	—	2	1	no	—
79	#106	—	2	1	no	—
80	#106	—	2	2	no	—
81	#106	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#106	D₄	1	1	yes	characteristic
83	#104	—	2	2	no	—
84	#103	—	2	2	no	—
85	#103	D₄	1	2	yes	—
86	#102	—	2	2	no	—
87	#102	—	2	2	no	—
88	#102	—	2	2	no	—
89	#102	—	2	2	no	—
90	#102	—	2	2	no	—
91	#102	—	2	2	no	—
92	#102	—	2	2	no	—
93	#102	D₄	1	2	yes	—
94	#100	—	2	4	no	—
95	#97	—	2	2	no	—
96	#97	—	2	1	no	—
97	#97	—	2	2	no	—
98	C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₄×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂⁴	—	2	2	no	—
101	#41	—	2	1	no	—
102	#41	—	2	1	no	—
103	#41	—	2	1	no	—
104	#41	—	2	1	no	—
105	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
106	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	D₈	—	4	2	no	—
122	D₈	—	4	2	no	—
123	M₁₆	—	2	1	no	—
124	M₁₆	—	2	2	no	—
125	M₁₆	—	2	2	no	—
126	M₁₆	—	2	1	no	—
127	M₁₆	—	2	1	no	—
128	M₁₆	—	4	2	no	—
129	M₁₆	#41	1	2	yes	—
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂×C₈	—	4	2	no	—
136	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
140	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
141	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
154	C₄²	—	2	2	no	—
155	C₄²	—	2	1	no	—
156	C₄²	—	2	1	no	—
157	C₄²	—	2	1	no	—
158	C₂³	—	2	1	no	—
159	C₂³	—	4	2	no	—
160	C₂³	—	4	2	no	—
161	C₂³	—	4	2	no	—
162	C₂³	—	8	2	no	—
163	C₂³	—	8	2	no	—
164	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
165	Q₈	—	2	1	no	—
166	Q₈	—	2	1	no	—
167	Q₈	—	16	2	no	—
168	D₄	—	2	1	no	—
169	D₄	—	2	1	no	—
170	D₄	—	4	1	no	—
171	D₄	—	4	1	no	—
172	D₄	—	4	2	no	—
173	D₄	—	4	2	no	—
174	D₄	—	4	2	no	—
175	D₄	—	4	2	no	—
176	D₄	—	16	2	no	—
177	D₄	—	16	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	1	no	—
187	C₂×C₄	—	8	2	no	—
188	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₈	—	2	2	no	—
195	C₈	—	2	2	no	—
196	C₈	—	4	1	no	—
197	C₈	—	4	2	no	—
198	C₈	#124	1	2	yes	—
199	C₈	#124	1	2	yes	—
200	C₂²	—	2	2	no	—
201	C₂²	—	4	1	no	—
202	C₂²	—	4	2	no	—
203	C₂²	—	8	4	no	—
204	C₂²	—	8	2	no	—
205	C₂²	—	8	2	no	—
206	C₂²	—	8	2	no	—
207	C₂²	—	16	2	no	—
208	C₂²	#542	1	1	yes	characteristic
209	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
210	C₂²	#555	1	1	yes	characteristic
211	C₄	—	4	1	no	—
212	C₄	—	4	2	no	—
213	C₄	—	4	2	no	—
214	C₄	—	4	2	no	—
215	C₄	—	8	1	no	—
216	C₄	—	8	2	no	—
217	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
218	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
219	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
220	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
221	C₂	—	2	1	no	—
222	C₂	—	2	1	no	—
223	C₂	—	8	1	no	—
224	C₂	—	16	2	no	—
225	C₂	#2491	1	1	yes	characteristic
226	C₂	#3288	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#3058	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3163	C₂	semidirect
2. #3136	C₂	semidirect
4. #2037	C₂	semidirect
5. #2027	C₂	semidirect
6. #1978	C₂	semidirect
7. #1972	C₂	semidirect
8. #1931	C₂	semidirect
9. #1815	C₂	semidirect
10. #1773	C₂	semidirect
11. #1765	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3163	2
#3136	2
#3058	2
#2037	2
#2027	2
#1978	2
#1972	2
#1931	2
#1815	2
#1773	2
#1765	2