Subgroups — #28361

Order 256.

583 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#470	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#2094	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2092	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2015	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2015	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#1968	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#1959	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#1958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#1753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#485	—	2	4	no	—
27	#470	—	2	4	no	—
28	#450	—	2	4	no	—
29	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#418	—	2	4	no	—
33	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#397	—	2	2	no	—
47	#394	—	2	2	no	—
48	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#387	—	2	2	no	—
53	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
55	#379	—	2	2	no	—
56	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	C₂⁵	—	2	1	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
68	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
74	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
75	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×SD₁₆	—	4	1	no	—
80	C₂×SD₁₆	—	4	1	no	—
81	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
82	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
83	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#124	—	2	2	no	—
89	#124	—	2	2	no	—
90	#124	—	4	1	no	—
91	#124	—	4	1	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
96	#117	—	2	2	no	—
97	#117	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#107	—	2	2	no	—
117	#106	—	2	2	no	—
118	#106	—	2	2	no	—
119	#103	—	2	2	no	—
120	#103	—	2	2	no	—
121	#103	—	2	2	no	—
122	#103	—	2	2	no	—
123	#102	—	2	2	no	—
124	#102	—	2	2	no	—
125	#102	—	2	2	no	—
126	#102	—	2	2	no	—
127	#102	—	2	2	no	—
128	#102	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
130	#97	—	4	1	no	—
131	C₄×C₈	—	4	1	no	—
132	#95	—	2	2	no	—
133	#95	—	2	2	no	—
134	#95	—	2	2	no	—
135	#95	D₄	1	2	yes	—
136	C₂⁴	—	2	1	no	—
137	C₂⁴	—	2	1	no	—
138	C₂⁴	—	4	2	no	—
139	C₂⁴	—	4	2	no	—
140	C₂⁴	—	4	4	no	—
141	C₂⁴	—	4	2	no	—
142	C₂⁴	—	8	2	no	—
143	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×D₄	—	2	1	no	—
160	C₂×D₄	—	2	1	no	—
161	C₂×D₄	—	2	1	no	—
162	C₂×D₄	—	2	1	no	—
163	C₂×D₄	—	2	1	no	—
164	C₂×D₄	—	2	1	no	—
165	C₂×D₄	—	2	1	no	—
166	C₂×D₄	—	2	1	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	Q₁₆	—	4	4	no	—
192	SD₁₆	—	4	4	no	—
193	SD₁₆	—	4	4	no	—
194	M₁₆	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
226	C₄²	—	2	1	no	—
227	C₄²	—	2	1	no	—
228	C₄²	—	2	1	no	—
229	C₄²	—	2	1	no	—
230	C₄²	—	4	2	no	—
231	C₂³	—	2	1	no	—
232	C₂³	—	2	1	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	4	8	no	—
238	C₂³	—	4	1	no	—
239	C₂³	—	4	1	no	—
240	C₂³	—	4	1	no	—
241	C₂³	—	4	1	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	8	4	no	—
247	C₂³	—	8	4	no	—
248	C₂³	—	8	8	no	—
249	C₂³	—	8	8	no	—
250	C₂³	#127	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	Q₈	—	4	1	no	—
253	Q₈	—	4	1	no	—
254	Q₈	—	4	1	no	—
255	Q₈	—	4	1	no	—
256	Q₈	—	4	1	no	—
257	Q₈	—	4	1	no	—
258	Q₈	—	4	1	no	—
259	Q₈	—	4	1	no	—
260	D₄	—	2	2	no	—
261	D₄	—	2	2	no	—
262	D₄	—	2	2	no	—
263	D₄	—	2	2	no	—
264	D₄	—	4	8	no	—
265	D₄	—	4	1	no	—
266	D₄	—	4	1	no	—
267	D₄	—	4	1	no	—
268	D₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	1	no	—
282	C₂×C₄	—	4	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	1	no	—
285	C₂×C₄	—	4	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	8	16	no	—
316	C₂²	—	8	1	no	—
317	C₂²	—	8	1	no	—
318	C₂²	—	8	1	no	—
319	C₂²	—	8	1	no	—
320	C₂²	—	8	2	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#575	1	2	yes	—
326	C₂²	#577	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	8	1	no	—
331	C₄	—	8	1	no	—
332	C₄	—	8	1	no	—
333	C₄	—	8	1	no	—
334	C₄	—	8	1	no	—
335	C₄	—	8	1	no	—
336	C₄	#525	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#534	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	4	2	no	—
341	C₂	—	8	2	no	—
342	C₂	—	8	2	no	—
343	C₂	#2539	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#3153	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#3154	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3311	1	2	yes	—
347	C₂	#3323	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#485	C₂	semidirect
2. C₂×#470	C₂	semidirect
5. #2499	C₂	semidirect
7. #2094	C₂	semidirect
8. #2092	C₂	semidirect
9. #2015	C₂	semidirect
10. #2015	C₂	semidirect
11. #1973	C₂	semidirect
12. #1968	C₂	semidirect
13. #1959	C₂	semidirect
14. #1958	C₂	semidirect
15. #1753	C₂	semidirect
17. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
29. C₂×#107	C₂²	semidirect
30. C₂×#106	C₂²	semidirect
31. C₂×#106	C₂²	semidirect
33. C₂×#103	C₂²	semidirect
34. C₂×#103	C₂²	semidirect
35. C₂×#103	C₂²	semidirect
36. C₂×#103	C₂²	semidirect
44. C₂×#97	C₂²	semidirect
45. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
48. #391	C₂²	semidirect
49. #391	C₂²	semidirect
53. #384	C₂²	semidirect
54. #382	C₂²	semidirect
57. #336	C₂²	semidirect
58. #336	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#485	2
C₂×#470	2
C₂×#450	2
C₂×#418	2
#2499	2
#2435	2
#2094	2
#2092	2
#2015	2
#1973	2
#1968	2
#1959	2
#1958	2
#1753	2