Subgroups — #28523

Order 256.

423 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 275 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#479	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#478	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2326	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#2097	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2095	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2093	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#2092	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#1959	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#1958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#1847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#1768	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#479	—	2	4	no	—
22	#478	—	2	4	no	—
23	#477	—	2	4	no	—
24	#474	—	2	4	no	—
25	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#398	—	2	2	no	—
46	#395	—	2	2	no	—
47	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#388	—	2	2	no	—
50	#385	—	2	2	no	—
51	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	#125	—	2	2	no	—
70	#125	—	2	2	no	—
71	#124	—	2	2	no	—
72	#124	Q₈	1	4	yes	complemented
73	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#107	—	2	2	no	—
98	#107	—	2	2	no	—
99	#107	—	2	2	no	—
100	#107	—	2	2	no	—
101	#107	—	2	2	no	—
102	#107	—	2	2	no	—
103	#106	—	2	2	no	—
104	#106	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
106	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
107	#103	—	2	2	no	—
108	#103	—	2	2	no	—
109	#103	—	2	2	no	—
110	#103	—	2	2	no	—
111	#102	—	2	2	no	—
112	#102	—	2	2	no	—
113	#102	—	2	2	no	—
114	#102	—	2	2	no	—
115	#97	—	2	2	no	—
116	C₄×C₈	—	2	2	no	—
117	#95	—	2	2	no	—
118	#95	—	2	2	no	—
119	#95	—	2	2	no	—
120	#95	D₄	1	2	yes	—
121	#95	D₄	1	2	yes	—
122	C₂⁴	—	2	1	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
130	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	—	2	1	no	—
132	C₂×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂×D₄	—	2	1	no	—
134	C₂×D₄	—	2	1	no	—
135	C₂×D₄	—	2	1	no	—
136	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
185	C₄²	—	2	1	no	—
186	C₄²	—	2	1	no	—
187	C₄²	—	4	2	no	—
188	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
191	C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	4	1	no	—
194	C₂³	—	4	1	no	—
195	C₂³	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	4	2	no	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	Q₈	—	2	2	no	—
199	Q₈	—	2	2	no	—
200	Q₈	—	4	1	no	—
201	Q₈	—	4	1	no	—
202	Q₈	—	8	4	no	—
203	D₄	—	2	2	no	—
204	D₄	—	2	2	no	—
205	D₄	—	4	1	no	—
206	D₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	8	4	no	—
230	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	2	2	no	—
240	C₈	—	2	2	no	—
241	C₈	—	2	2	no	—
242	C₈	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	4	4	no	—
244	C₂²	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	8	1	no	—
246	C₂²	—	8	1	no	—
247	C₂²	—	8	2	no	—
248	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#576	1	2	yes	—
252	C₂²	#578	1	2	yes	—
253	C₄	—	2	4	no	—
254	C₄	—	2	2	no	—
255	C₄	—	2	2	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	8	1	no	—
259	C₄	—	8	1	no	—
260	C₄	—	8	1	no	—
261	C₄	—	8	1	no	—
262	C₄	—	8	1	no	—
263	C₄	—	8	1	no	—
264	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
265	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
266	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
267	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂	—	8	2	no	—
269	C₂	#2542	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#3083	1	2	yes	—
271	C₂	#3155	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#3156	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#3243	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#479	C₂	semidirect
2. C₂×#477	C₂	semidirect
5. #2660	C₂	semidirect
7. #2097	C₂	semidirect
8. #2095	C₂	semidirect
13. #1847	C₂	semidirect
14. #1845	C₂	semidirect
15. #1768	C₂	semidirect
72. #124	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#479	2
C₂×#477	2
C₂×#478	2
C₂×#474	2
#2660	2
#2326	2
#2097	2
#2095	2
#2093	2
#2092	2
#1959	2
#1958	2
#1847	2
#1845	2
#1768	2