Subgroups — #288030

Order 512.

846 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 452 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#25318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10052	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9057	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#467	—	2	1	no	—
17	C₂×#467	—	2	1	no	—
18	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2542	C₂²	1	2	yes	—
22	#2366	C₂²	1	2	yes	—
23	#2071	—	2	2	no	—
24	#2054	—	2	2	no	—
25	#2001	—	2	2	no	—
26	#1988	C₂²	1	2	yes	—
27	#1982	C₂²	1	2	yes	—
28	#1981	C₂²	1	2	yes	—
29	#1970	—	2	1	no	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1879	—	2	2	no	—
32	#1879	—	2	2	no	—
33	#1802	—	2	2	no	—
34	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1709	—	2	4	no	—
38	#1667	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#494	—	2	2	no	—
61	#494	—	2	2	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	D₄	1	4	yes	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	2	4	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	4	2	no	—
68	#467	—	4	4	no	—
69	#467	—	4	4	no	—
70	#459	—	2	4	no	—
71	#459	—	4	2	no	—
72	C₄×D₈	—	4	4	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	C₈×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#103	—	2	2	no	—
82	C₂×#103	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	4	2	no	—
89	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#399	—	4	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#386	—	4	2	no	—
101	#384	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	#340	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	2	no	—
106	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
107	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#340	D₄	1	2	yes	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#336	—	2	1	no	—
111	#335	—	2	2	no	—
112	#332	—	4	2	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₈²	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
129	C₂×D₈	—	2	4	no	—
130	C₂×D₈	—	2	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	2	no	—
134	C₂×D₈	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	8	1	no	—
136	C₂×D₈	—	8	1	no	—
137	C₂×D₈	—	8	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	4	4	no	—
166	C₄×D₄	—	4	4	no	—
167	C₄×D₄	—	8	2	no	—
168	C₄×D₄	—	8	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	#107	—	2	2	no	—
188	#107	D₈	1	4	yes	complemented
189	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
196	#103	—	4	4	no	—
197	#103	—	4	4	no	—
198	#102	—	2	2	no	—
199	#102	—	2	2	no	—
200	#102	—	4	4	no	—
201	#102	—	4	4	no	—
202	#102	—	4	4	no	—
203	#102	—	4	8	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	#102	—	8	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
214	#95	—	2	1	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	C₂⁴	—	2	1	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	2	1	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	8	2	no	—
244	C₂×D₄	—	8	2	no	—
245	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
264	Q₁₆	—	8	4	no	—
265	Q₁₆	—	8	4	no	—
266	D₈	—	4	8	no	—
267	D₈	—	8	4	no	—
268	D₈	—	8	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	1	no	—
283	C₂×C₈	—	4	1	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	1	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	8	4	no	—
290	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
308	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	#135	1	2	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
317	C₄²	—	4	1	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	1	no	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	4	1	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	1	no	—
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	1	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	Q₈	—	8	2	no	—
342	Q₈	—	8	2	no	—
343	Q₈	—	8	2	no	—
344	D₄	—	2	2	no	—
345	D₄	—	2	2	no	—
346	D₄	—	4	1	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	1	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	16	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	1	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	1	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	1	no	—
376	C₂×C₄	—	8	1	no	—
377	C₂×C₄	—	8	1	no	—
378	C₂×C₄	—	8	1	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	16	8	no	—
383	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	4	2	no	—
399	C₈	—	4	1	no	—
400	C₈	—	4	1	no	—
401	C₈	—	8	1	no	—
402	C₈	—	8	2	no	—
403	C₈	—	8	1	no	—
404	C₈	#459	1	4	yes	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	4	2	no	—
408	C₂²	—	8	1	no	—
409	C₂²	—	8	1	no	—
410	C₂²	—	8	1	no	—
411	C₂²	—	8	1	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	8	4	no	—
414	C₂²	—	8	4	no	—
415	C₂²	—	16	2	no	—
416	C₂²	—	16	2	no	—
417	C₂²	—	16	2	no	—
418	C₂²	—	16	2	no	—
419	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
424	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
426	C₄	—	2	1	no	—
427	C₄	—	2	1	no	—
428	C₄	—	4	4	no	—
429	C₄	—	4	2	no	—
430	C₄	—	8	1	no	—
431	C₄	—	8	1	no	—
432	C₄	—	8	2	no	—
433	C₄	—	16	2	no	—
434	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#3168	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#3175	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#3391	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#3399	1	1	yes	characteristic
442	C₂	—	8	2	no	—
443	C₂	—	16	4	no	—
444	C₂	#19908	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#19935	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#19968	1	1	yes	characteristic
447	C₂	#19973	1	1	yes	characteristic
448	C₂	#25364	1	1	yes	characteristic
449	C₂	#25413	1	1	yes	characteristic
450	C₂	#25433	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1667	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28486	C₂	semidirect
2. #25318	C₂	semidirect
3. #23185	C₂	semidirect
4. C₂×#1709	C₂	semidirect
6. #10540	C₂	semidirect
7. #10052	C₂	semidirect
8. #9733	C₂	semidirect
9. #9594	C₂	semidirect
10. #9057	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect
188. #107	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28486	2
#25318	2
#23185	2
C₂×#1709	2
C₂×#1667	2
#10540	2
#10052	2
#9733	2
#9594	2
#9057	2
C₈×#102	2