Subgroups — #288067

Order 512.

714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28675	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#25370	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10538	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10067	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#9058	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#462	—	2	2	no	—
17	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2546	C₂²	1	2	yes	—
20	#2365	C₂²	1	2	yes	—
21	#2086	—	2	2	no	—
22	#2056	—	2	2	no	—
23	#2016	—	2	2	no	—
24	#1988	C₂²	1	2	yes	—
25	#1988	C₂²	1	2	yes	—
26	#1981	C₂²	1	2	yes	—
27	#1942	—	2	1	no	—
28	#1942	—	2	1	no	—
29	#1942	—	2	1	no	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1918	—	2	2	no	—
32	#1878	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	—	2	1	no	—
34	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	—	2	4	no	—
38	#1674	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#500	—	2	4	no	—
56	#500	—	2	2	no	—
57	#500	—	2	2	no	—
58	#500	—	2	4	no	—
59	#500	—	2	2	no	—
60	#500	D₄	1	4	yes	—
61	#494	—	2	4	no	—
62	#494	—	4	2	no	—
63	#462	—	2	4	no	—
64	#462	—	4	2	no	—
65	#462	—	4	8	no	—
66	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#107	—	2	1	no	—
70	C₂×#107	—	2	1	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	4	2	no	—
73	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#103	—	2	2	no	—
81	C₂×#103	—	2	2	no	—
82	C₂×#103	—	2	2	no	—
83	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#398	—	4	2	no	—
91	#391	—	2	2	no	—
92	#391	—	2	2	no	—
93	#389	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#387	—	4	2	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#340	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#340	—	2	2	no	—
104	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
105	#340	D₄	1	2	yes	—
106	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
107	#336	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	1	no	—
109	#335	—	2	2	no	—
110	#332	—	2	4	no	—
111	#332	—	4	2	no	—
112	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₈²	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
149	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	#107	—	2	4	no	—
169	#107	—	2	4	no	—
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	4	8	no	—
172	#107	—	4	2	no	—
173	#107	—	4	2	no	—
174	#107	Q₁₆	1	4	yes	complemented
175	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
183	#103	—	2	2	no	—
184	#103	—	4	4	no	—
185	#103	—	4	4	no	—
186	#103	—	8	2	no	—
187	#103	D₈	1	4	yes	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	4	2	no	—
192	C₄×C₈	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
196	#95	—	2	1	no	—
197	#95	—	2	2	no	—
198	#95	—	4	2	no	—
199	#95	—	4	2	no	—
200	#95	—	4	2	no	—
201	#95	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
231	Q₁₆	—	8	8	no	—
232	Q₁₆	—	8	8	no	—
233	Q₁₆	—	8	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	1	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₄²	—	4	1	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	1	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	1	no	—
287	C₄²	—	8	4	no	—
288	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	2	2	no	—
294	Q₈	—	2	2	no	—
295	Q₈	—	4	1	no	—
296	Q₈	—	4	1	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	4	4	no	—
299	Q₈	—	8	2	no	—
300	Q₈	—	8	2	no	—
301	Q₈	—	8	2	no	—
302	Q₈	—	8	2	no	—
303	Q₈	—	8	2	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	8	1	no	—
350	C₈	—	8	2	no	—
351	C₈	—	8	1	no	—
352	C₈	#462	1	4	yes	complemented
353	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	—	8	1	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	1	no	—
369	C₄	—	16	2	no	—
370	C₄	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#3044	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
374	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#3395	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3398	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#19887	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#19964	1	1	yes	characteristic
380	C₂	D₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#20010	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#25370	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#25414	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#25435	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
174. #107	Q₁₆	semidirect
352. C₈	#462	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28675	2
#25370	2
#23157	2
C₂×#1713	2
C₂×#1674	2
#10538	2
#10067	2
#9731	2
#9594	2
#9058	2
C₈×#103	2