Subgroups — #288068

Order 512.

646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#25455	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10543	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10057	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#9066	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2567	C₂²	1	2	yes	—
19	#2369	C₂²	1	2	yes	—
20	#2087	—	2	2	no	—
21	#2083	—	2	2	no	—
22	#2068	—	2	2	no	—
23	#1987	C₂²	1	2	yes	—
24	#1987	C₂²	1	2	yes	—
25	#1987	C₂²	1	2	yes	—
26	#1947	—	2	2	no	—
27	#1942	—	2	1	no	—
28	#1942	—	2	1	no	—
29	#1942	—	2	1	no	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1928	—	2	2	no	—
32	#1921	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	—	2	1	no	—
34	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	—	2	4	no	—
38	#1676	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#500	—	2	4	no	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	—	2	2	no	—
54	#500	—	2	2	no	—
55	#500	—	4	2	no	—
56	#500	D₄	1	4	yes	—
57	#494	—	2	4	no	—
58	#494	—	2	4	no	—
59	#477	—	2	4	no	—
60	#477	—	4	2	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
62	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	1	no	—
64	C₂×#107	—	2	1	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#107	—	2	1	no	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#395	—	4	2	no	—
86	#391	—	2	2	no	—
87	#391	—	4	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#389	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#384	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#340	—	2	2	no	—
98	#340	—	2	2	no	—
99	#340	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#340	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	—	2	1	no	—
108	#335	—	2	2	no	—
109	#333	—	2	4	no	—
110	#333	—	4	2	no	—
111	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
112	C₈²	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	#107	—	2	4	no	—
158	#107	—	2	4	no	—
159	#107	—	2	2	no	—
160	#107	—	4	4	no	—
161	#107	—	4	4	no	—
162	#107	—	4	4	no	—
163	#107	—	4	2	no	—
164	#107	—	4	2	no	—
165	#107	Q₁₆	1	4	yes	complemented
166	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
174	#103	—	2	2	no	—
175	#103	—	4	4	no	—
176	#103	Q₁₆	1	4	yes	complemented
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	1	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	4	2	no	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
185	#95	—	2	1	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	#95	—	4	2	no	—
188	#95	—	4	2	no	—
189	#95	—	4	2	no	—
190	#95	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
204	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	Q₁₆	—	8	16	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	4	1	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	1	no	—
231	C₂×C₈	—	4	1	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
262	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	4	1	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	16	2	no	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	2	2	no	—
277	Q₈	—	2	2	no	—
278	Q₈	—	4	1	no	—
279	Q₈	—	4	1	no	—
280	Q₈	—	8	4	no	—
281	Q₈	—	8	4	no	—
282	Q₈	—	16	2	no	—
283	Q₈	—	16	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	8	1	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₈	—	8	1	no	—
331	C₈	#462	1	4	yes	—
332	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	8	1	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	—	8	1	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	16	2	no	—
349	C₄	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#3044	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3170	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3177	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
354	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#3395	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3398	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#19930	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#19957	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20006	1	1	yes	characteristic
360	C₂	Q₁₆²	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#25370	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#25415	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#25434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
165. #107	Q₁₆	semidirect
176. #103	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28676	2
#25455	2
#23158	2
C₂×#1713	2
C₂×#1676	2
#10543	2
#10057	2
#9730	2
#9594	2
#9066	2
C₈×#103	2