Subgroups — #288073

Order 512.

912 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 461 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#25371	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10047	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#463	—	2	2	no	—
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
20	#2548	C₂²	1	2	yes	—
21	#2366	C₂²	1	2	yes	—
22	#2054	—	2	2	no	—
23	#2054	—	2	2	no	—
24	#2012	—	2	2	no	—
25	#1982	C₂²	1	2	yes	—
26	#1982	C₂²	1	2	yes	—
27	#1982	C₂²	1	2	yes	—
28	#1970	—	2	1	no	—
29	#1970	—	2	1	no	—
30	#1970	—	2	1	no	—
31	#1939	C₂²	1	2	yes	—
32	#1879	—	2	2	no	—
33	#1879	—	2	2	no	—
34	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1712	—	2	4	no	—
38	#1668	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#124	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	4	no	—
62	#493	—	2	4	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#493	—	2	2	no	—
65	#493	—	2	4	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#493	—	4	2	no	—
68	#493	D₄	1	4	yes	—
69	#463	—	4	8	no	—
70	#460	—	2	4	no	—
71	#460	—	4	2	no	—
72	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₄×D₈	—	4	4	no	—
75	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#394	—	4	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#390	—	2	2	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#386	—	4	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#340	D₄	1	2	yes	—
107	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#336	—	2	1	no	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#335	—	2	2	no	—
111	#331	—	2	4	no	—
112	#331	—	4	2	no	—
113	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
114	C₈²	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	4	no	—
127	C₂×D₈	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	8	no	—
131	C₂×D₈	—	4	2	no	—
132	C₂×D₈	—	4	2	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	4	4	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	8	1	no	—
140	C₂×D₈	—	8	1	no	—
141	C₂×D₈	—	8	2	no	—
142	C₂×D₈	—	8	2	no	—
143	C₂×D₈	—	8	1	no	—
144	C₂×D₈	—	8	1	no	—
145	C₂×D₈	—	8	4	no	—
146	C₂×D₈	—	8	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#124	—	4	4	no	—
164	#124	—	8	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₄×D₄	—	4	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	4	no	—
171	C₄×D₄	—	8	2	no	—
172	C₄×D₄	—	8	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	#107	—	2	2	no	—
191	#107	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	#103	—	2	2	no	—
201	#103	D₈	1	4	yes	complemented
202	#102	—	4	4	no	—
203	#102	—	4	4	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	#102	—	8	2	no	—
206	#102	—	8	2	no	—
207	#102	—	8	2	no	—
208	#102	—	8	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	—	4	2	no	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
217	#95	—	2	1	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	C₂⁴	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	8	2	no	—
256	C₂×D₄	—	8	2	no	—
257	C₂×D₄	—	8	2	no	—
258	C₂×D₄	—	8	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	SD₁₆	—	8	8	no	—
272	D₈	—	4	8	no	—
273	D₈	—	8	4	no	—
274	D₈	—	8	8	no	—
275	D₈	—	8	8	no	—
276	D₈	—	8	16	no	—
277	D₈	—	8	4	no	—
278	D₈	—	8	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	1	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	1	no	—
285	C₂×C₈	—	2	1	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	1	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	1	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	1	no	—
293	C₂×C₈	—	4	1	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
314	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
322	C₄²	—	4	1	no	—
323	C₄²	—	4	1	no	—
324	C₄²	—	4	2	no	—
325	C₄²	—	4	1	no	—
326	C₄²	—	4	1	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	2	no	—
343	C₂³	—	8	2	no	—
344	C₂³	—	8	2	no	—
345	C₂³	—	8	2	no	—
346	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	2	2	no	—
348	Q₈	—	2	2	no	—
349	Q₈	—	4	1	no	—
350	Q₈	—	4	1	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	8	4	no	—
356	D₄	—	8	4	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	2	no	—
361	D₄	—	8	2	no	—
362	D₄	—	8	2	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	D₄	—	8	2	no	—
366	D₄	—	8	2	no	—
367	D₄	—	8	2	no	—
368	D₄	—	8	2	no	—
369	D₄	—	16	2	no	—
370	D₄	—	16	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	1	no	—
372	C₂×C₄	—	2	1	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	1	no	—
376	C₂×C₄	—	4	1	no	—
377	C₂×C₄	—	4	1	no	—
378	C₂×C₄	—	4	1	no	—
379	C₂×C₄	—	4	1	no	—
380	C₂×C₄	—	4	1	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	1	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	1	no	—
388	C₂×C₄	—	4	1	no	—
389	C₂×C₄	—	4	1	no	—
390	C₂×C₄	—	4	2	no	—
391	C₂×C₄	—	16	8	no	—
392	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
406	C₈	—	2	4	no	—
407	C₈	—	2	2	no	—
408	C₈	—	2	2	no	—
409	C₈	—	2	2	no	—
410	C₈	—	8	1	no	—
411	C₈	—	8	2	no	—
412	C₈	—	8	1	no	—
413	C₈	#463	1	4	yes	complemented
414	C₂²	—	8	4	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	—	16	2	no	—
418	C₂²	—	16	2	no	—
419	C₂²	—	16	2	no	—
420	C₂²	—	16	2	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	—	16	2	no	—
423	C₂²	—	16	2	no	—
424	C₂²	—	16	2	no	—
425	C₂²	—	16	2	no	—
426	C₂²	—	16	2	no	—
427	C₂²	—	16	2	no	—
428	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
432	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
433	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
435	C₄	—	2	1	no	—
436	C₄	—	2	1	no	—
437	C₄	—	4	2	no	—
438	C₄	—	4	2	no	—
439	C₄	—	8	2	no	—
440	C₄	—	8	1	no	—
441	C₄	—	8	2	no	—
442	C₄	—	8	1	no	—
443	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
445	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
446	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
447	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
448	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
449	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
450	C₄	#3399	1	1	yes	characteristic
451	C₂	—	16	4	no	—
452	C₂	—	32	2	no	—
453	C₂	#19885	1	1	yes	characteristic
454	C₂	#19962	1	1	yes	characteristic
455	C₂	#19975	1	1	yes	characteristic
456	C₂	#20021	1	1	yes	characteristic
457	C₂	#25371	1	1	yes	characteristic
458	C₂	#25414	1	1	yes	characteristic
459	C₂	#25434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1712	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28736	C₂	semidirect
2. #25371	C₂	semidirect
3. #23185	C₂	semidirect
5. C₂×#1668	C₂	semidirect
6. #10536	C₂	semidirect
7. #10047	C₂	semidirect
8. #9734	C₂	semidirect
9. #9594	C₂	semidirect
10. #9061	C₂	semidirect
11. C₈×#103	C₂	semidirect
201. #103	D₈	semidirect
413. C₈	#463	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28736	2
#25371	2
#23185	2
C₂×#1712	2
C₂×#1668	2
#10536	2
#10047	2
#9734	2
#9594	2
#9061	2
C₈×#103	2