Subgroups — #288395

Order 512.

762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#25369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#9593	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9062	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#464	—	2	2	no	—
17	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2548	C₂²	1	2	yes	—
20	#2365	C₂²	1	2	yes	—
21	#2055	—	2	2	no	—
22	#2054	—	2	2	no	—
23	#2015	—	2	2	no	—
24	#1988	C₂²	1	2	yes	—
25	#1982	C₂²	1	2	yes	—
26	#1982	C₂²	1	2	yes	—
27	#1972	—	2	1	no	—
28	#1972	—	2	1	no	—
29	#1943	—	2	1	no	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1921	—	2	2	no	—
32	#1880	—	2	2	no	—
33	#1776	—	2	1	no	—
34	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1694	—	2	4	no	—
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#124	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#500	—	2	2	no	—
58	#500	D₄	1	4	yes	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#492	—	2	4	no	—
62	#492	—	4	2	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#464	—	4	8	no	—
66	#462	—	2	4	no	—
67	#462	—	4	2	no	—
68	#446	—	2	2	no	—
69	#446	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	—	2	1	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#103	—	2	2	no	—
80	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	4	2	no	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#394	—	4	2	no	—
92	#391	—	2	2	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#389	—	2	2	no	—
97	#387	—	4	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	#340	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	—
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	1	no	—
107	#334	—	2	2	no	—
108	#332	—	2	4	no	—
109	#331	—	4	2	no	—
110	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₈²	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
126	C₂×D₈	—	4	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	8	1	no	—
131	C₂×D₈	—	8	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	2	2	no	—
146	#127	—	2	2	no	—
147	#124	—	4	4	no	—
148	#124	—	8	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	#107	—	2	4	no	—
173	#107	—	2	4	no	—
174	#106	—	2	2	no	—
175	#106	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
184	#103	—	2	4	no	—
185	#103	—	4	4	no	—
186	#102	—	4	8	no	—
187	#102	—	4	4	no	—
188	#102	—	8	2	no	—
189	#102	—	8	2	no	—
190	#102	—	8	2	no	—
191	#97	—	4	2	no	—
192	#97	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	1	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
199	#95	—	2	1	no	—
200	#95	—	2	2	no	—
201	#95	—	4	2	no	—
202	#95	—	4	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	8	2	no	—
229	C₂×D₄	—	8	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	Q₁₆	—	8	8	no	—
240	SD₁₆	—	8	8	no	—
241	SD₁₆	—	8	8	no	—
242	D₈	—	8	4	no	—
243	D₈	—	8	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
283	C₄²	—	4	1	no	—
284	C₄²	—	4	1	no	—
285	C₄²	—	4	1	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	—	8	4	no	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	2	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	1	no	—
303	Q₈	—	4	1	no	—
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	Q₈	—	4	2	no	—
307	Q₈	—	8	2	no	—
308	Q₈	—	8	2	no	—
309	D₄	—	8	4	no	—
310	D₄	—	8	2	no	—
311	D₄	—	8	2	no	—
312	D₄	—	8	2	no	—
313	D₄	—	8	2	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	16	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	8	1	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	—	8	1	no	—
354	C₈	#464	1	4	yes	complemented
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	—	16	2	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3274	1	2	yes	—
364	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3290	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	8	1	no	—
370	C₄	—	8	4	no	—
371	C₄	—	8	1	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	8	2	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	C₂×#464	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#3043	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3184	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3264	1	2	yes	—
380	C₄	#3394	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#3400	1	1	yes	characteristic
382	C₂	—	32	2	no	—
383	C₂	#19947	1	2	yes	—
384	C₂	#20313	1	2	yes	—
385	C₂	#25369	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#25426	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#25432	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #25369	C₂	semidirect
3. #23161	C₂	semidirect
5. C₂×#1694	C₂	semidirect
6. #10537	C₂	semidirect
7. #10063	C₂	semidirect
9. #9593	C₂	semidirect
10. #9062	C₂	semidirect
11. #8207	C₂	semidirect
354. C₈	#464	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28743	2
#25369	2
#23161	2
C₂×#1706	2
C₂×#1694	2
#10537	2
#10063	2
#9743	2
#9593	2
#9062	2
#8207	2