Subgroups — #288406

Order 512.

758 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#25325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1688	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9593	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9057	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#442	—	2	1	no	—
19	#2568	C₂²	1	2	yes	—
20	#2366	C₂²	1	2	yes	—
21	#2073	—	2	2	no	—
22	#2056	—	2	2	no	—
23	#2055	—	2	2	no	—
24	#1988	C₂²	1	2	yes	—
25	#1982	C₂²	1	2	yes	—
26	#1981	C₂²	1	2	yes	—
27	#1972	—	2	1	no	—
28	#1971	—	2	1	no	—
29	#1971	—	2	1	no	—
30	#1939	C₂²	1	2	yes	—
31	#1879	—	2	2	no	—
32	#1877	—	2	2	no	—
33	#1804	—	2	2	no	—
34	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1709	—	2	4	no	—
38	#1688	—	2	4	no	—
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	#494	—	2	2	no	—
58	#494	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#493	D₄	1	4	yes	—
61	#486	—	2	4	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	—	4	2	no	—
65	#460	—	2	4	no	—
66	#460	—	4	2	no	—
67	#446	—	2	2	no	—
68	#446	—	2	2	no	—
69	#442	—	4	4	no	—
70	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	4	2	no	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#400	—	4	2	no	—
92	#391	—	2	2	no	—
93	#391	—	2	2	no	—
94	#391	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#386	—	4	2	no	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#340	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	—
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	1	no	—
107	#334	—	2	2	no	—
108	#332	—	4	2	no	—
109	#331	—	2	4	no	—
110	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₈²	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	4	2	no	—
131	C₂×D₈	—	8	1	no	—
132	C₂×D₈	—	8	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	2	2	no	—
146	#127	—	2	2	no	—
147	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	4	4	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	8	2	no	—
155	C₄×D₄	—	8	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#106	—	2	2	no	—
171	#106	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
180	#103	—	4	2	no	—
181	#103	—	8	2	no	—
182	#103	—	8	2	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	—	4	4	no	—
185	#102	—	4	4	no	—
186	#102	—	4	4	no	—
187	#102	—	4	8	no	—
188	#102	—	8	2	no	—
189	#97	—	4	2	no	—
190	#97	—	4	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
197	#95	—	2	1	no	—
198	#95	—	2	2	no	—
199	#95	—	4	2	no	—
200	#95	—	4	2	no	—
201	#95	—	4	2	no	—
202	#95	—	4	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	8	2	no	—
229	C₂×D₄	—	8	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	8	4	no	—
243	Q₁₆	—	8	4	no	—
244	SD₁₆	—	8	8	no	—
245	D₈	—	4	8	no	—
246	D₈	—	8	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
284	C₄²	—	4	1	no	—
285	C₄²	—	4	1	no	—
286	C₄²	—	4	1	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	2	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	1	no	—
303	Q₈	—	4	1	no	—
304	Q₈	—	4	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	2	no	—
307	Q₈	—	8	2	no	—
308	Q₈	—	8	2	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	8	4	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	16	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	16	8	no	—
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	8	1	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₈	—	8	1	no	—
355	C₈	#463	1	4	yes	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3275	1	2	yes	—
366	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3290	1	2	yes	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	8	1	no	—
373	C₄	—	8	1	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	—	16	2	no	—
376	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3173	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3183	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3267	1	2	yes	—
381	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3399	1	1	yes	characteristic
383	C₂	—	16	4	no	—
384	C₂	#19963	1	2	yes	—
385	C₂	#20288	1	2	yes	—
386	C₂	#25371	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#25425	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#25433	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28744	C₂	semidirect
2. #25325	C₂	semidirect
6. #10540	C₂	semidirect
7. #10053	C₂	semidirect
8. #9742	C₂	semidirect
9. #9593	C₂	semidirect
10. #9057	C₂	semidirect
11. #8207	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28744	2
#25325	2
#23188	2
C₂×#1709	2
C₂×#1688	2
#10540	2
#10053	2
#9742	2
#9593	2
#9057	2
#8207	2