Subgroups — #2888

Order 128.

378 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#413	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	C₂×#100	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
6	C₂×#41	C₄	1	2	yes	—
7	C₂×#41	C₂²	1	3	yes	—
8	C₂×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×D₄	C₄	1	6	yes	—
10	C₂²×D₄	C₂²	1	3	yes	—
11	#131	—	2	8	no	—
12	C₂×M₁₆	C₂²	1	12	yes	complemented
13	#101	C₂²	1	4	yes	complemented
14	#100	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂⁴	C₂×C₄	1	6	yes	—
16	#41	—	2	8	no	—
17	#41	—	2	12	no	—
18	#41	D₄	1	8	yes	—
19	C₂×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
21	C₂×D₄	—	2	24	no	—
22	C₂×D₄	—	2	12	no	—
23	C₂×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
24	C₂×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
25	C₂×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
26	C₂×D₄	C₂³	1	3	yes	—
27	C₂²×C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
28	C₂²×C₄	C₂³	1	3	yes	—
29	M₁₆	—	2	12	no	—
30	M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
31	C₂×C₈	—	2	12	no	—
32	C₂³	—	2	12	no	—
33	C₂³	—	8	6	no	—
34	C₂³	C₂²×C₄	1	6	yes	—
35	C₂³	C₂²×C₄	1	3	yes	—
36	Q₈	—	2	2	no	—
37	Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
38	D₄	—	2	12	no	—
39	D₄	—	2	12	no	—
40	D₄	—	2	6	no	—
41	D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
42	C₂×C₄	—	2	12	no	—
43	C₂×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
45	C₂×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
46	C₂×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
47	C₈	—	2	8	no	—
48	C₂²	—	2	6	no	—
49	C₂²	—	4	3	no	—
50	C₂²	—	4	6	no	—
51	C₂²	—	8	12	no	—
52	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
53	C₂²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₄	—	2	2	no	—
55	C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
56	C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
57	C₂	—	2	1	no	—
58	C₂	—	2	6	no	—
59	C₂	—	4	6	no	—
60	C₂	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #568	C₂	semidirect
3. #413	C₂	semidirect
4. C₂×#100	C₂	semidirect
12. C₂×M₁₆	C₂²	semidirect
13. #101	C₂²	semidirect
14. #100	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×H(5,𝔽₂)	2
#568	2
#413	2
C₂×#100	2