Subgroups — #298606

Order 512.

1376 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25671	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
16	#3147	—	2	4	no	—
17	#3147	—	2	4	no	—
18	C₂×#495	—	2	2	no	—
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2857	C₂²	1	2	yes	—
27	#2034	—	2	4	no	—
28	#2000	—	2	4	no	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1942	—	2	2	no	—
35	#1877	—	2	4	no	—
36	#1864	—	2	4	no	—
37	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1808	—	2	2	no	—
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1707	—	2	4	no	—
42	#1706	—	2	4	no	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#135	—	2	16	no	—
49	C₂×#135	—	4	8	no	—
50	C₂×#135	—	4	8	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
56	#532	—	2	4	no	—
57	#532	—	2	4	no	—
58	#532	—	4	2	no	—
59	#532	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	—	2	2	no	—
72	#498	—	2	4	no	—
73	#498	—	4	2	no	—
74	#495	—	2	16	no	—
75	#494	—	2	2	no	—
76	#494	D₄	1	4	yes	—
77	#493	—	2	2	no	—
78	#493	D₄	1	4	yes	—
79	#492	—	2	4	no	—
80	#492	—	2	4	no	—
81	#492	—	2	4	no	—
82	#492	—	4	2	no	—
83	#487	—	2	4	no	—
84	#487	—	4	2	no	—
85	#486	—	2	4	no	—
86	#486	—	4	2	no	—
87	C₂×#107	—	2	2	no	—
88	C₂×#107	—	2	2	no	—
89	C₂×#106	—	2	4	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#391	—	2	2	no	—
106	#389	—	2	2	no	—
107	#389	—	2	2	no	—
108	#384	C₂³	1	2	yes	—
109	#380	—	2	2	no	—
110	#380	—	2	2	no	—
111	#340	—	2	4	no	—
112	#340	—	2	4	no	—
113	#340	—	2	4	no	—
114	#336	D₄	1	2	yes	—
115	#336	D₄	1	2	yes	—
116	C₈²	—	2	2	no	—
117	C₈²	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	4	4	no	—
120	C₂×#41	—	4	8	no	—
121	C₂×#41	—	4	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	#135	—	4	64	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
142	C₂×D₈	—	2	8	no	—
143	C₂×D₈	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#124	—	2	8	no	—
167	#124	—	4	4	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
169	#121	—	4	4	no	—
170	#121	—	4	4	no	—
171	#121	—	4	4	no	—
172	#121	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	C₄×D₄	—	4	4	no	—
176	C₄×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	#107	—	4	4	no	—
197	#107	—	4	4	no	—
198	#106	—	4	8	no	—
199	#103	—	4	8	no	—
200	#102	—	4	8	no	—
201	#102	—	4	8	no	—
202	#102	—	8	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	2	4	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	#95	—	4	2	no	—
219	#95	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	4	32	no	—
223	#41	—	8	16	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	Q₁₆	—	4	16	no	—
272	SD₁₆	—	4	32	no	—
273	SD₁₆	—	8	16	no	—
274	D₈	—	4	16	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	16	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	#135	1	4	yes	complemented
292	C₂×C₈	#135	1	4	yes	complemented
293	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
309	C₄²	—	2	1	no	—
310	C₄²	—	2	1	no	—
311	C₄²	—	2	1	no	—
312	C₄²	—	2	1	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	—	2	1	no	—
315	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	—	2	1	no	—
320	C₂³	—	2	1	no	—
321	C₂³	—	2	1	no	—
322	C₂³	—	2	1	no	—
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	#492	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	4	8	no	—
335	Q₈	—	8	4	no	—
336	Q₈	—	8	4	no	—
337	Q₈	—	8	4	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	4	8	no	—
340	D₄	—	4	8	no	—
341	D₄	—	8	16	no	—
342	D₄	—	8	4	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	1	no	—
353	C₂×C₄	—	2	1	no	—
354	C₂×C₄	—	2	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	16	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
382	C₈	—	2	4	no	—
383	C₈	—	2	4	no	—
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₈	—	4	2	no	—
386	C₈	—	4	2	no	—
387	C₈	#450	1	8	yes	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	4	1	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	1	no	—
394	C₂²	—	4	1	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	—	16	2	no	—
400	C₂²	—	16	2	no	—
401	C₂²	—	16	2	no	—
402	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	4	1	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	16	2	no	—
414	C₄	—	16	2	no	—
415	C₄	C₂×#450	1	2	yes	—
416	C₄	#3208	1	2	yes	—
417	C₄	#3280	1	2	yes	—
418	C₄	#3283	1	2	yes	—
419	C₄	#3285	1	2	yes	—
420	C₄	#3287	1	2	yes	—
421	C₂	—	4	2	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	#19596	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#19645	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#19647	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#19655	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#25717	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#25778	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33209	C₂	semidirect
3. #25671	C₂	semidirect
4. #25597	C₂	semidirect
5. C₂×#1707	C₂	semidirect
6. C₂×#1706	C₂	semidirect
7. #10315	C₂	semidirect
8. #10310	C₂	semidirect
9. #9825	C₂	semidirect
10. #9824	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
147. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect
291. C₂×C₈	#135	semidirect
292. C₂×C₈	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#33209	2
#25671	2
#25597	2
C₂×#1707	2
C₂×#1706	2
#10315	2
#10310	2
#9825	2
#9824	2
C₈×C₂²⋊C₈	2