Subgroups — #298607

Order 512.

1782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10305	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	—	2	2	no	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#493	—	2	8	no	—
13	C₂×#493	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×#450	—	2	4	no	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2857	C₂²	1	2	yes	—
21	#2041	—	2	4	no	—
22	#2014	—	2	4	no	—
23	#1990	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#1942	—	2	2	no	—
27	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#1808	—	2	2	no	—
29	#1786	—	2	4	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1706	—	2	8	no	—
33	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1273	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
43	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#127	—	2	8	no	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	4	4	no	—
51	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#500	—	2	4	no	—
55	#493	—	2	16	no	—
56	#493	—	2	8	no	—
57	#493	—	2	4	no	—
58	#493	D₄	1	8	yes	—
59	#492	—	2	8	no	—
60	#492	—	4	4	no	—
61	#486	—	2	8	no	—
62	#486	—	4	4	no	—
63	#450	—	4	16	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#102	—	2	8	no	—
67	C₂×#102	—	2	8	no	—
68	C₂×#102	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#391	—	2	2	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	2	no	—
80	#384	C₂³	1	2	yes	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	#340	—	2	4	no	—
84	#336	D₄	1	2	yes	—
85	#336	D₄	1	2	yes	—
86	C₈²	—	2	4	no	—
87	C₂⁵	—	4	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
111	C₂×D₈	—	2	16	no	—
112	C₂×D₈	—	2	16	no	—
113	C₂×D₈	—	4	8	no	—
114	C₂×D₈	—	4	64	no	—
115	C₂×D₈	—	4	8	no	—
116	C₂×D₈	—	4	8	no	—
117	C₂×D₈	—	4	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	#127	—	2	8	no	—
128	#127	—	2	4	no	—
129	#127	—	2	4	no	—
130	#127	—	2	4	no	—
131	#127	—	4	8	no	—
132	#127	—	4	8	no	—
133	#127	—	4	4	no	—
134	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#107	—	4	4	no	—
150	#107	—	4	4	no	—
151	#102	—	4	16	no	—
152	#102	—	4	16	no	—
153	#102	—	8	8	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
156	C₄×C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#95	—	4	2	no	—
164	#95	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	8	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	8	4	no	—
168	C₂⁴	—	8	4	no	—
169	C₂⁴	—	8	4	no	—
170	C₂⁴	—	8	4	no	—
171	C₂⁴	—	8	4	no	—
172	C₂⁴	—	8	4	no	—
173	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
174	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	32	no	—
181	C₂×D₄	—	4	8	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	8	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	8	32	no	—
194	C₂×D₄	—	8	32	no	—
195	C₂×D₄	—	8	4	no	—
196	C₂×D₄	—	8	16	no	—
197	C₂×D₄	—	8	4	no	—
198	C₂×D₄	—	8	4	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	SD₁₆	—	8	32	no	—
221	D₈	—	4	32	no	—
222	D₈	—	4	32	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	16	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	complemented
233	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	4	8	no	—
255	C₂³	—	8	16	no	—
256	C₂³	—	8	16	no	—
257	C₂³	—	8	16	no	—
258	C₂³	—	8	4	no	—
259	C₂³	—	8	4	no	—
260	C₂³	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	8	4	no	—
262	C₂³	—	8	4	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	—	16	8	no	—
265	C₂³	—	16	8	no	—
266	C₂³	—	16	8	no	—
267	C₂³	—	16	8	no	—
268	C₂³	#492	1	2	yes	—
269	C₂³	#493	1	2	yes	—
270	C₂³	#495	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	8	8	no	—
273	D₄	—	4	16	no	—
274	D₄	—	4	16	no	—
275	D₄	—	4	16	no	—
276	D₄	—	8	16	no	—
277	D₄	—	8	16	no	—
278	D₄	—	8	16	no	—
279	D₄	—	8	8	no	—
280	D₄	—	8	8	no	—
281	D₄	—	8	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
311	C₈	—	2	4	no	—
312	C₈	—	2	8	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	#450	1	8	yes	complemented
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	8	8	no	—
322	C₂²	—	8	8	no	—
323	C₂²	—	8	8	no	—
324	C₂²	—	16	32	no	—
325	C₂²	—	16	4	no	—
326	C₂²	—	16	4	no	—
327	C₂²	—	16	4	no	—
328	C₂²	—	16	4	no	—
329	C₂²	#1706	1	4	yes	complemented
330	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	16	2	no	—
341	C₄	—	16	2	no	—
342	C₄	C₂×#450	1	2	yes	—
343	C₄	#3208	1	2	yes	—
344	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
345	C₄	#3280	1	4	yes	—
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	—	16	8	no	—
348	C₂	C₂×#1706	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#19635	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#19652	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#25717	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#25781	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33209	C₂	semidirect
3. #25855	C₂	semidirect
4. #25717	C₂	semidirect
5. C₂×#1706	C₂	semidirect
6. #10305	C₂	semidirect
7. #9824	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
11. C₂×#500	C₂²	semidirect
16. C₂×#492	C₂²	semidirect
17. C₂×#486	C₂²	semidirect
23. #1990	C₂²	semidirect
24. #1957	C₂²	semidirect
25. #1957	C₂²	semidirect
27. #1845	C₂²	semidirect
33. C₂×C₈²	C₂²	semidirect
34. #1273	C₂²	semidirect
120. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect
155. C₂²⋊C₈	D₈	semidirect
232. C₂×C₈	C₂×D₈	semidirect
314. C₈	#450	semidirect
329. C₂²	#1706	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
#33209	2
#25855	2
#25717	2
C₂×#1706	2
#10305	2
#9824	2
C₈×C₂²⋊C₈	2